Pré-calcul Exemples

$\log_{y} (81) = - 4$

Étape 1

Réécrivez $\log_{y} (81) = - 4$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$y^{- 4} = 81$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} = 81$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y^{4}, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y^{4}$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{y^{4}} = 81$ par $y^{4}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{y^{4}} = 81$ par $y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = 81 y^{4}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{4}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = 81 y^{4}$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 81 y^{4}$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’équation comme $81 y^{4} = 1$ .

$81 y^{4} = 1$

Étape 2.4.2

Divisez chaque terme dans $81 y^{4} = 1$ par $81$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $81 y^{4} = 1$ par $81$ .

$\frac{81 y^{4}}{81} = \frac{1}{81}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $81$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{81 y^{4}}{81} = \frac{1}{81}$

Étape 2.4.2.2.1.2

Divisez $y^{4}$ par $1$ .

$y^{4} = \frac{1}{81}$

Étape 2.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{81}}$

Étape 2.4.4

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{81}}$ .

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Étape 2.4.4.1

Réécrivez $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$ comme $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}}$

Étape 2.4.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{81}}$

Étape 2.4.4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.4.3.1

Réécrivez $81$ comme $3^{4}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3^{4}}}$

Étape 2.4.4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \pm \frac{1}{3}$

Étape 2.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{1}{3}$

Étape 2.4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{1}{3}$

Étape 2.4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Étape 3

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{y} (81) = - 4$ vrai.

$y = \frac{1}{3}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = \frac{1}{3}$

Forme décimale :

$y = 0.\overline{3}$