Pré-calcul Exemples

$\log_{3} (y) = \frac{1}{4} \cdot \log_{3} (16) + \frac{1}{3} \cdot \log_{3} (64)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $\log_{3} (16)$ .

$\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{1}{3} \log_{3} (64)$

Étape 1.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $\log_{3} (64)$ .

$\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{\log_{3} (64)}{3}$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{\log_{3} (64)}{3}$ par $12$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{\log_{3} (64)}{3}$ par $12$ .

$\log_{3} (y) \cdot 12 = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot 12 + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Déplacez $12$ à gauche de $\log_{3} (y)$ .

$12 \log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot 12 + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$12 \log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot (4 (3)) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Étape 2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$12 \log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot (4 \cdot 3) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Étape 2.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$12 \log_{3} (y) = \log_{3} (16) \cdot 3 + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Étape 2.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\log_{3} (16)$ .

$12 \log_{3} (y) = 3 \cdot \log_{3} (16) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Étape 2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot (3 (4))$

Étape 2.3.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot (3 \cdot 4)$

Étape 2.3.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + \log_{3} (64) \cdot 4$

Étape 2.3.1.4

Déplacez $4$ à gauche de $\log_{3} (64)$ .

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + 4 \log_{3} (64)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $12 \log_{3} (y)$ en déplaçant $12$ dans le logarithme.

$\log_{3} (y^{12}) = 3 \log_{3} (16) + 4 \log_{3} (64)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Simplifiez $3 \log_{3} (16) + 4 \log_{3} (64)$ .

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Simplifiez $3 \log_{3} (16)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (16^{3}) + 4 \log_{3} (64)$

Étape 4.1.1.2

Élevez $16$ à la puissance $3$ .

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096) + 4 \log_{3} (64)$

Étape 4.1.1.3

Simplifiez $4 \log_{3} (64)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096) + \log_{3} (64^{4})$

Étape 4.1.1.4

Élevez $64$ à la puissance $4$ .

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096) + \log_{3} (16777216)$

Étape 4.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096 \cdot 16777216)$

Étape 4.1.3

Multipliez $4096$ par $16777216$ .

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (68719476736)$

Étape 5

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$y^{12} = 68719476736$

Étape 6

Résolvez $y$ .

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Étape 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[12]{68719476736}$

Étape 6.2

Simplifiez $\pm \sqrt[12]{68719476736}$ .

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Étape 6.2.1

Réécrivez $68719476736$ comme $8^{12}$ .

$y = \pm \sqrt[12]{8^{12}}$

Étape 6.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \pm 8$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = 8$

Étape 6.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - 8$

Étape 6.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = 8, - 8$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{3} (y) = \frac{1}{4} \cdot \log_{3} (16) + \frac{1}{3} \cdot \log_{3} (64)$ vrai.

$y = 8$