Pré-calcul Exemples

$y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{x} + e^{- x} = y \cdot 2$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$e^{x} + e^{- x} = 2 y$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 2 y$

Étape 4.2

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$u + u^{- 1} = 2 y$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 2 y$

Étape 4.4

Résolvez $u$ .

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Étape 4.4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1$

Étape 4.4.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 4.4.2

Multiplier chaque terme dans $u + \frac{1}{u} = 2 y$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.4.2.1

Multipliez chaque terme dans $u + \frac{1}{u} = 2 y$ par $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Étape 4.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Étape 4.4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 4.4.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Étape 4.4.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{2} + 1 = 2 y u$

Étape 4.4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 4.4.3.1

Soustrayez $2 y u$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} + 1 - 2 y u = 0$

Étape 4.4.3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4.3.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2 y$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4

Simplifiez

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Étape 4.4.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.3.4.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot 1$ comme ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 2 y$ et $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.4.3.4.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 4.4.3.4.1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.3.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.3.3

Associez les exposants.

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Étape 4.4.3.4.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.3.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y - 2$ .

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Étape 4.4.3.4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) + 2 (- 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- y) + 2 (- 1)$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) \cdot (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.6

Réécrivez $4 (- y + 1) (- y - 1)$ comme $2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))$ .

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Étape 4.4.3.4.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.6.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.6.3

Ajoutez des parenthèses.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$

Étape 4.4.3.4.3

Simplifiez $\frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$ .

$u = y \pm \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Étape 4.4.3.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Étape 4.5

Remplacez $u$ par $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ dans $u = e^{x}$ .

$y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

Étape 4.6

Résolvez $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ .

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Étape 4.6.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ .

$e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Étape 4.6.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Étape 4.6.3

Développez le côté gauche.

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Étape 4.6.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Étape 4.6.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Étape 4.6.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Étape 4.7

Remplacez $u$ par $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ dans $u = e^{x}$ .

$y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

Étape 4.8

Résolvez $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ .

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Étape 4.8.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ .

$e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Étape 4.8.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Étape 4.8.3

Développez le côté gauche.

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Étape 4.8.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Étape 4.8.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Étape 4.8.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Étape 4.9

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$