Pré-calcul Exemples

${(y^{2} + 4 y)}^{2} + 7 (y^{2} + 4 y) + 12 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = y^{2} + 4 y$ . Remplacez toutes les occurrences de $y^{2} + 4 y$ par $u$ .

$u^{2} + 7 u + 12 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u^{2} + 7 u + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $7$ .

$3, 4$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u + 3) (u + 4) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2} + 4 y$ .

$(y^{2} + 4 y + 3) (y^{2} + 4 y + 4) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y^{2} + 4 y + 3 = 0$

$y^{2} + 4 y + 4 = 0$

Étape 3

Définissez $y^{2} + 4 y + 3$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Définissez $y^{2} + 4 y + 3$ égal à $0$ .

$y^{2} + 4 y + 3 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $y^{2} + 4 y + 3 = 0$ pour $y$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $y^{2} + 4 y + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(y + 1) (y + 3) = 0$

Étape 3.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y + 1 = 0$

$y + 3 = 0$

Étape 3.2.3

Définissez $y + 1$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.2.3.1

Définissez $y + 1$ égal à $0$ .

$y + 1 = 0$

Étape 3.2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 1$

Étape 3.2.4

Définissez $y + 3$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.2.4.1

Définissez $y + 3$ égal à $0$ .

$y + 3 = 0$

Étape 3.2.4.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 3$

Étape 3.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y + 1) (y + 3) = 0$ vraie.

$y = - 1, - 3$

Étape 4

Définissez $y^{2} + 4 y + 4$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Définissez $y^{2} + 4 y + 4$ égal à $0$ .

$y^{2} + 4 y + 4 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $y^{2} + 4 y + 4 = 0$ pour $y$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y^{2} + 4 y + 2^{2} = 0$

Étape 4.2.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 y = 2 \cdot y \cdot 2$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez le polynôme.

$y^{2} + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Étape 4.2.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = y$ et $b = 2$ .

${(y + 2)}^{2} = 0$

Étape 4.2.2

Définissez le $y + 2$ égal à $0$ .

$y + 2 = 0$

Étape 4.2.3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 2$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y^{2} + 4 y + 3) (y^{2} + 4 y + 4) = 0$ vraie.

$y = - 1, - 3, - 2$