Pré-calcul Exemples

$9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 1$

Étape 1

Définissez $9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 1$ égal à $0$ .

$9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$- 3 x - 1 + 9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x - 1$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$- (3 x) - 1 + 9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Étape 2.1.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- (3 x) - 1 \cdot 1 + 9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - 1 (1)$ .

$- (3 x + 1) + 9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2}$ .

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Étape 2.1.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $9 x^{5}$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3}) - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Étape 2.1.3.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 21 x^{4}$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3}) + x^{2} (- 21 x^{2}) + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Étape 2.1.3.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $10 x^{3}$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3}) + x^{2} (- 21 x^{2}) + x^{2} (10 x) + 6 x^{2} = 0$

Étape 2.1.3.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $6 x^{2}$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3}) + x^{2} (- 21 x^{2}) + x^{2} (10 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Étape 2.1.3.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (9 x^{3}) + x^{2} (- 21 x^{2})$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2}) + x^{2} (10 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Étape 2.1.3.6

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2}) + x^{2} (10 x)$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Étape 2.1.3.7

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x) + x^{2} \cdot 6$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6) = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez.

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.4.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

Étape 2.1.4.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 0.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{2}, \pm 3$

Étape 2.1.4.1.3

Remplacez $- 0.\overline{3}$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.\overline{3}$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.4.1.3.1

Remplacez $- 0.\overline{3}$ dans le polynôme.

$9 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Étape 2.1.4.1.3.2

Élevez $- 0.\overline{3}$ à la puissance $3$ .

$9 \cdot - 0.\overline{037} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Étape 2.1.4.1.3.3

Multipliez $9$ par $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{3} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Étape 2.1.4.1.3.4

Élevez $- 0.\overline{3}$ à la puissance $2$ .

$- 0.\overline{3} - 21 \cdot 0.\overline{1} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Étape 2.1.4.1.3.5

Multipliez $- 21$ par $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{3} - 2.\overline{3} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Étape 2.1.4.1.3.6

Soustrayez $2.\overline{3}$ de $- 0.\overline{3}$ .

$- 2.\overline{6} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Étape 2.1.4.1.3.7

Multipliez $10$ par $- 0.\overline{3}$ .

$- 2.\overline{6} - 3.\overline{3} + 6$

Étape 2.1.4.1.3.8

Soustrayez $3.\overline{3}$ de $- 2.\overline{6}$ .

$- 6 + 6$

Étape 2.1.4.1.3.9

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$0$

Étape 2.1.4.1.4

Comme $- 0.\overline{3}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $3 x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6}{3 x + 1}$

Étape 2.1.4.1.5

Divisez $9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6$ par $3 x + 1$ .

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Étape 2.1.4.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 x$

$1$

$9 x^{3}$

$21 x^{2}$

$10 x$

$6$

Étape 2.1.4.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $9 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

					$3 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$

Étape 2.1.4.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			+	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 2.1.4.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $9 x^{3} + 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 2.1.4.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$

Étape 2.1.4.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$

Étape 2.1.4.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 24 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$

Étape 2.1.4.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					-	$24 x^{2}$	-	$8 x$

Étape 2.1.4.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 24 x^{2} - 8 x$

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$

Étape 2.1.4.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$

Étape 2.1.4.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$

Étape 2.1.4.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $18 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$

Étape 2.1.4.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	+	$6$

Étape 2.1.4.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $18 x + 6$

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	-	$6$

Étape 2.1.4.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	-	$6$
										$0$

Étape 2.1.4.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$3 x^{2} - 8 x + 6$

Étape 2.1.4.1.6

Écrivez $9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6$ comme un ensemble de facteurs.

$- (3 x + 1) + x^{2} ((3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6)) = 0$

Étape 2.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (3 x + 1) + x^{2} (3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6) = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $3 x + 1$ à partir de $- (3 x + 1) + x^{2} (3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6)$ .

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Étape 2.1.5.1

Factorisez $3 x + 1$ à partir de $- (3 x + 1)$ .

$(3 x + 1) \cdot - 1 + x^{2} (3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6) = 0$

Étape 2.1.5.2

Factorisez $3 x + 1$ à partir de $x^{2} (3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6)$ .

$(3 x + 1) \cdot - 1 + (3 x + 1) (x^{2} (3 x^{2} - 8 x + 6)) = 0$

Étape 2.1.5.3

Factorisez $3 x + 1$ à partir de $(3 x + 1) \cdot - 1 + (3 x + 1) (x^{2} (3 x^{2} - 8 x + 6))$ .

$(3 x + 1) (- 1 + x^{2} (3 x^{2} - 8 x + 6)) = 0$

Étape 2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x + 1) (- 1 + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 6) = 0$

Étape 2.1.7

Simplifiez

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Étape 2.1.7.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 6) = 0$

Étape 2.1.7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} x + x^{2} \cdot 6) = 0$

Étape 2.1.7.3

Déplacez $6$ à gauche de $x^{2}$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} x + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Étape 2.1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.8.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.8.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 (x^{2} x^{2}) - 8 x^{2} x + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Étape 2.1.8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{2 + 2} - 8 x^{2} x + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Étape 2.1.8.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 x^{2} x + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Étape 2.1.8.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.8.2.1

Déplacez $x$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Étape 2.1.8.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.1.8.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Étape 2.1.8.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 x^{1 + 2} + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Étape 2.1.8.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 \cdot x^{2}) = 0$

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2}) = 0$

Étape 2.1.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$(3 x + 1) (3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1) = 0$

Étape 2.1.10

Factorisez.

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Étape 2.1.10.1

Réécrivez $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$ en forme factorisée.

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Étape 2.1.10.1.1

Factorisez $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.10.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 2.1.10.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}$

Étape 2.1.10.1.1.3

Remplacez $- 0.\overline{3}$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.\overline{3}$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.10.1.1.3.1

Remplacez $- 0.\overline{3}$ dans le polynôme.

$3 {(- 0.\overline{3})}^{4} - 8 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Étape 2.1.10.1.1.3.2

Élevez $- 0.\overline{3}$ à la puissance $4$ .

$3 \cdot 0.01234567 - 8 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Étape 2.1.10.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $0.01234567$ .

$0.\overline{037} - 8 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Étape 2.1.10.1.1.3.4

Élevez $- 0.\overline{3}$ à la puissance $3$ .

$0.\overline{037} - 8 \cdot - 0.\overline{037} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Étape 2.1.10.1.1.3.5

Multipliez $- 8$ par $- 0.\overline{037}$ .

$0.\overline{037} + 0.\overline{296} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Étape 2.1.10.1.1.3.6

Additionnez $0.\overline{037}$ et $0.\overline{296}$ .

$0.\overline{3} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Étape 2.1.10.1.1.3.7

Élevez $- 0.\overline{3}$ à la puissance $2$ .

$0.\overline{3} + 6 \cdot 0.\overline{1} - 1$

Étape 2.1.10.1.1.3.8

Multipliez $6$ par $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{3} + 0.\overline{6} - 1$

Étape 2.1.10.1.1.3.9

Additionnez $0.\overline{3}$ et $0.\overline{6}$ .

$1 - 1$

Étape 2.1.10.1.1.3.10

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 2.1.10.1.1.4

$\frac{3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1}{3 x + 1}$

Étape 2.1.10.1.1.5

Divisez $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$ par $3 x + 1$ .

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Étape 2.1.10.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 2.1.10.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 2.1.10.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Étape 2.1.10.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{4} + x^{3}$

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Étape 2.1.10.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

Étape 2.1.10.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

Étape 2.1.10.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 9 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

Étape 2.1.10.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

Étape 2.1.10.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 9 x^{3} - 3 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

Étape 2.1.10.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

Étape 2.1.10.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

Étape 2.1.10.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $9 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

Étape 2.1.10.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

Étape 2.1.10.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $9 x^{2} + 3 x$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

Étape 2.1.10.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

Étape 2.1.10.1.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

Étape 2.1.10.1.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

Étape 2.1.10.1.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

Étape 2.1.10.1.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x - 1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

Étape 2.1.10.1.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$0$

Étape 2.1.10.1.1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Étape 2.1.10.1.1.6

Écrivez $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$ comme un ensemble de facteurs.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)) = 0$

Étape 2.1.10.1.2

Factorisez $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.10.1.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.10.1.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1$

Étape 2.1.10.1.2.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.10.1.2.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 2.1.10.1.2.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 2.1.10.1.2.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 2.1.10.1.2.3.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$1 - 3 + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 2.1.10.1.2.3.5

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 2.1.10.1.2.3.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Étape 2.1.10.1.2.3.7

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$1 - 1$

Étape 2.1.10.1.2.3.8

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 2.1.10.1.2.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

Étape 2.1.10.1.2.5

Divisez $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ par $x - 1$ .

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Étape 2.1.10.1.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Étape 2.1.10.1.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Étape 2.1.10.1.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 2.1.10.1.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 2.1.10.1.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 2.1.10.1.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 2.1.10.1.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 2.1.10.1.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 2.1.10.1.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 2.1.10.1.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$

Étape 2.1.10.1.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Étape 2.1.10.1.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Étape 2.1.10.1.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Étape 2.1.10.1.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x - 1$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Étape 2.1.10.1.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Étape 2.1.10.1.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 2 x + 1$

Étape 2.1.10.1.2.6

Écrivez $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ comme un ensemble de facteurs.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1))) = 0$

Étape 2.1.10.1.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1.10.1.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1^{2}))) = 0$

Étape 2.1.10.1.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 2.1.10.1.3.3

Réécrivez le polynôme.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}))) = 0$

Étape 2.1.10.1.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) {(x - 1)}^{2})) = 0$

Étape 2.1.10.1.4

Associez les facteurs similaires.

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Étape 2.1.10.1.4.1

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) {(x - 1)}^{2})) = 0$

Étape 2.1.10.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) {(x - 1)}^{1 + 2}) = 0$

Étape 2.1.10.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$(3 x + 1) ((3 x + 1) {(x - 1)}^{3}) = 0$

Étape 2.1.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(3 x + 1) (3 x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 2.1.11

Associez les exposants.

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Étape 2.1.11.1

Élevez $3 x + 1$ à la puissance $1$ .

$(3 x + 1) (3 x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 2.1.11.2

Élevez $3 x + 1$ à la puissance $1$ .

$(3 x + 1) (3 x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 2.1.11.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(3 x + 1)}^{1 + 1} {(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 2.1.11.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(3 x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(3 x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 2.3

Définissez ${(3 x + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez ${(3 x + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(3 x + 1)}^{2} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez ${(3 x + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez le $3 x + 1$ égal à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Étape 2.3.2.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 1$

Étape 2.3.2.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.3.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.3.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.3.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 2.4

Définissez ${(x - 1)}^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez ${(x - 1)}^{3}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez ${(x - 1)}^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(3 x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$x = - \frac{1}{3}$ (Multiplicité de $2$ )

$x = 1$ (Multiplicité de $3$ )

$x = - \frac{1}{3}$ (Multiplicité de $2$ )

$x = 1$ (Multiplicité de $3$ )

Étape 3