Pré-calcul Exemples

$y = 7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3$

Étape 1

Définissez $7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3$ égal à $0$ .

$7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 7$

Étape 2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 3, \pm 0.\overline{428571}$

Étape 2.1.3

Remplacez $0.\overline{142857}$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.\overline{142857}$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.3.1

Remplacez $0.\overline{142857}$ dans le polynôme.

$7 \cdot {0.\overline{142857}}^{3} - 15 \cdot {0.\overline{142857}}^{2} + 23 \cdot 0.\overline{142857} - 3$

Étape 2.1.3.2

Élevez $0.\overline{142857}$ à la puissance $3$ .

$7 \cdot 0.00291545 - 15 \cdot {0.\overline{142857}}^{2} + 23 \cdot 0.\overline{142857} - 3$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $7$ par $0.00291545$ .

$0.02040816 - 15 \cdot {0.\overline{142857}}^{2} + 23 \cdot 0.\overline{142857} - 3$

Étape 2.1.3.4

Élevez $0.\overline{142857}$ à la puissance $2$ .

$0.02040816 - 15 \cdot 0.02040816 + 23 \cdot 0.\overline{142857} - 3$

Étape 2.1.3.5

Multipliez $- 15$ par $0.02040816$ .

$0.02040816 - 0.30612244 + 23 \cdot 0.\overline{142857} - 3$

Étape 2.1.3.6

Soustrayez $0.30612244$ de $0.02040816$ .

$- 0.28571428 + 23 \cdot 0.\overline{142857} - 3$

Étape 2.1.3.7

Multipliez $23$ par $0.\overline{142857}$ .

$- 0.28571428 + 3.28571428 - 3$

Étape 2.1.3.8

Additionnez $- 0.28571428$ et $3.28571428$ .

$3 - 3$

Étape 2.1.3.9

Soustrayez $3$ de $3$ .

$0$

Étape 2.1.4

Comme $0.\overline{142857}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $7 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3}{7 x - 1}$

Étape 2.1.5

Divisez $7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3$ par $7 x - 1$ .

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Étape 2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$7 x$

$1$

$7 x^{3}$

$15 x^{2}$

$23 x$

$3$

Étape 2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $7 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $7 x$ .

					$x^{2}$
	$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$

Étape 2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			+	$7 x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $7 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$

Étape 2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$

Étape 2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 14 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $7 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$

Étape 2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 14 x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$21 x$

Étape 2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$21 x$	-	$3$

Étape 2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $21 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $7 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$21 x$	-	$3$

Étape 2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$21 x$	-	$3$
							+	$21 x$	-	$3$

Étape 2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $21 x - 3$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$21 x$	-	$3$
							-	$21 x$	+	$3$

Étape 2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$21 x$	-	$3$
							-	$21 x$	+	$3$
										$0$

Étape 2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 2 x + 3$

Étape 2.1.6

Écrivez $7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3$ comme un ensemble de facteurs.

$(7 x - 1) (x^{2} - 2 x + 3) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$7 x - 1 = 0$

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Étape 2.3

Définissez $7 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $7 x - 1$ égal à $0$ .

$7 x - 1 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $7 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$7 x = 1$

Étape 2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $7 x = 1$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x = 1$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7}$

Étape 2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7}$

Étape 2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{7}$

Étape 2.4

Définissez $x^{2} - 2 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2} - 2 x + 3$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez

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Étape 2.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Étape 2.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.3

Soustrayez $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.4.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Étape 2.4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.3

Soustrayez $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.4.2.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.2.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Étape 2.4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.3

Soustrayez $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.4.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.2.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(7 x - 1) (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$x = \frac{1}{7}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 1 + i \sqrt{2}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 1 - i \sqrt{2}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = \frac{1}{7}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 1 + i \sqrt{2}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 1 - i \sqrt{2}$ (Multiplicité de $1$ )

Étape 3