Pré-calcul Exemples

$5 \tan (x) = 5 \sqrt{3}$

Étape 1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\tan (x) = \frac{opposé}{adjacent}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse du triangle du cercle unité. Les côtés opposé et adjacent étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Hypoténuse = \sqrt{{opposé}^{2} + {adjacent}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Hypoténuse = \sqrt{{(5 \sqrt{3})}^{2} + {(1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $5 \sqrt{3}$ .

Hypoténuse $= \sqrt{5^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(1)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{25 {\sqrt{3}}^{2} + {(1)}^{2}}$

Étape 4.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

Hypoténuse $= \sqrt{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(1)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Hypoténuse $= \sqrt{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(1)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(1)}^{2}}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

Hypoténuse $= \sqrt{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(1)}^{2}}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

Hypoténuse $= \sqrt{25 \cdot 3 + {(1)}^{2}}$

Étape 4.3.5

Évaluez l’exposant.

Hypoténuse $= \sqrt{25 \cdot 3 + {(1)}^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $25$ par $3$ .

Hypoténuse $= \sqrt{75 + {(1)}^{2}}$

Étape 4.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

Hypoténuse $= \sqrt{75 + 1}$

Étape 4.6

Additionnez $75$ et $1$ .

Hypoténuse $= \sqrt{76}$

Étape 4.7

Réécrivez $76$ comme $2^{2} \cdot 19$ .

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Étape 4.7.1

Factorisez $4$ à partir de $76$ .

Hypoténuse $= \sqrt{4 (19)}$

Étape 4.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

Hypoténuse $= \sqrt{2^{2} \cdot 19}$

Étape 4.8

Extrayez les termes de sous le radical.

Hypoténuse $= 2 \sqrt{19}$

Étape 5

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{19}}$

Étape 5.3

Simplifiez la valeur de $\sin (x)$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez $\frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{19}}$ par $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$

Étape 5.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $\frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{19}}$ par $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 \sqrt{19} \sqrt{19}}$

Étape 5.3.2.2

Déplacez $\sqrt{19}$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 (\sqrt{19} \sqrt{19})}$

Étape 5.3.2.3

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 (\sqrt{19} \sqrt{19})}$

Étape 5.3.2.4

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 (\sqrt{19} \sqrt{19})}$

Étape 5.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 {\sqrt{19}}^{1 + 1}}$

Étape 5.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 {\sqrt{19}}^{2}}$

Étape 5.3.2.7

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{2}$ comme $19$ .

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Étape 5.3.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{19}$ comme $19^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 \cdot 19}$

Étape 5.3.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{19}}{2 \cdot 19}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{19 \cdot 3}}{2 \cdot 19}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $19$ par $3$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{57}}{2 \cdot 19}$

Étape 5.3.4

Multipliez $2$ par $19$ .

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{57}}{38}$

Étape 6

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (x) = \frac{1}{2 \sqrt{19}}$

Étape 6.3

Simplifiez la valeur de $\cos (x)$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{19}}$ par $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2 \sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$

Étape 6.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{19}}$ par $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 \sqrt{19} \sqrt{19}}$

Étape 6.3.2.2

Déplacez $\sqrt{19}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 (\sqrt{19} \sqrt{19})}$

Étape 6.3.2.3

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 (\sqrt{19} \sqrt{19})}$

Étape 6.3.2.4

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 (\sqrt{19} \sqrt{19})}$

Étape 6.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 {\sqrt{19}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 {\sqrt{19}}^{2}}$

Étape 6.3.2.7

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{2}$ comme $19$ .

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Étape 6.3.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{19}$ comme $19^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 \cdot 19}$

Étape 6.3.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{2 \cdot 19}$

Étape 6.3.3

Multipliez $2$ par $19$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{38}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (x)$ .

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (x) = \frac{1}{5 \sqrt{3}}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de $\cot (x)$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{1}{5 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \frac{1}{5 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 7.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{5 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 7.3.2.2

Déplacez $\sqrt{3}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 7.3.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 7.3.2.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 7.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 7.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 7.3.2.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 7.3.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.3.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.3.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3}$

Étape 7.3.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3}$

Étape 7.3.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{15}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (x)$ .

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{19}}{1}$

Étape 8.3

Divisez $2 \sqrt{19}$ par $1$ .

$\sec (x) = 2 \sqrt{19}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (x)$ .

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19}}{5 \sqrt{3}}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\csc (x)$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{19}}{5 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19}}{5 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 9.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{19}}{5 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 9.3.2.2

Déplacez $\sqrt{3}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 9.3.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 9.3.2.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 9.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 9.3.2.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 9.3.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 \cdot 3}$

Étape 9.3.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{19} \sqrt{3}}{5 \cdot 3}$

Étape 9.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.3.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 19}}{5 \cdot 3}$

Étape 9.3.3.2

Multipliez $3$ par $19$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{57}}{5 \cdot 3}$

Étape 9.3.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{57}}{15}$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (x) = \frac{5 \sqrt{57}}{38}$

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{38}$

$\tan (x) = 5 \sqrt{3}$

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{15}$

$\sec (x) = 2 \sqrt{19}$

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{57}}{15}$