Pré-calcul Exemples

$p (x) = 3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8$

Étape 1

Définissez $3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8$ égal à $0$ .

$3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$7 x^{3} - 28 x + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $7 x$ à partir de $7 x^{3} - 28 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $7 x$ à partir de $7 x^{3}$ .

$7 x (x^{2}) - 28 x + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $7 x$ à partir de $- 28 x$ .

$7 x (x^{2}) + 7 x (- 4) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $7 x$ à partir de $7 x (x^{2}) + 7 x (- 4)$ .

$7 x (x^{2} - 4) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$7 x (x^{2} - 2^{2}) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez.

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Étape 2.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$7 x ((x + 2) (x - 2)) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Étape 2.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Étape 2.1.5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 {(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Étape 2.1.6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} - 10 u - 8 = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ et dont la somme est $b = - 10$ .

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Étape 2.1.7.1.1

Factorisez $- 10$ à partir de $- 10 u$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} - 10 u - 8 = 0$

Étape 2.1.7.1.2

Réécrivez $- 10$ comme $2$ plus $- 12$

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + (2 - 12) u - 8 = 0$

Étape 2.1.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + 2 u - 12 u - 8 = 0$

Étape 2.1.7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + 2 u - 12 u - 8 = 0$

Étape 2.1.7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$7 x (x + 2) (x - 2) + u (3 u + 2) - 4 (3 u + 2) = 0$

Étape 2.1.7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u + 2$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 u + 2) (u - 4) = 0$

Étape 2.1.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 4) = 0$

Étape 2.1.9

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 2.1.10

Factorisez.

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Étape 2.1.10.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 2.1.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 2.1.11

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$ .

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Étape 2.1.11.1

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $7 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 2.1.11.2

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $(3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + 2) = 0$

Étape 2.1.11.3

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $(x + 2) (x - 2) (7 x) + (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 x + 3 x^{2} + 2) = 0$

Étape 2.1.12

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 u + 3 u^{2} + 2) = 0$

Étape 2.1.13

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.13.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 7 u + 2) = 0$

Étape 2.1.13.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ et dont la somme est $b = 7$ .

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Étape 2.1.13.2.1

Factorisez $7$ à partir de $7 u$ .

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 7 (u) + 2) = 0$

Étape 2.1.13.2.2

Réécrivez $7$ comme $1$ plus $6$

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + (1 + 6) u + 2) = 0$

Étape 2.1.13.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 1 u + 6 u + 2) = 0$

Étape 2.1.13.2.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + u + 6 u + 2) = 0$

Étape 2.1.13.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.13.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 2) (x - 2) ((3 u^{2} + u) + 6 u + 2) = 0$

Étape 2.1.13.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 2) (x - 2) (u (3 u + 1) + 2 (3 u + 1)) = 0$

Étape 2.1.13.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u + 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((3 u + 1) (u + 2)) = 0$

Étape 2.1.14

Factorisez.

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Étape 2.1.14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((3 x + 1) (x + 2)) = 0$

Étape 2.1.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x - 2) (3 x + 1) (x + 2) = 0$

Étape 2.1.15

Associez les exposants.

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Étape 2.1.15.1

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Étape 2.1.15.2

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Étape 2.1.15.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Étape 2.1.15.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x + 2)}^{2} (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

$3 x + 1 = 0$

Étape 2.3

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez ${(x + 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.5

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $3 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 1$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 2)}^{2} (x - 2) (3 x + 1) = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$x = - 2$ (Multiplicité de $2$ )

$x = 2$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - \frac{1}{3}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - 2$ (Multiplicité de $2$ )

$x = 2$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - \frac{1}{3}$ (Multiplicité de $1$ )

Étape 3