Pré-calcul Exemples

$\csc (x) = \frac{\sqrt{13}}{3}$

Étape 1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\csc (x) = \frac{hypoténuse}{opposé}$

Étape 2

Déterminez le côté adjacent du triangle du cercle unité. L’hypoténuse et le côté opposé étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Adjacent = - \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {opposé}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Adjacent = - \sqrt{{(\sqrt{13})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Inversez $\sqrt{{(\sqrt{13})}^{2} - {(3)}^{2}}$ .

Adjacent $= - \sqrt{{(\sqrt{13})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Étape 4.2

Réécrivez ${\sqrt{13}}^{2}$ comme $13$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13}$ comme $13^{\frac{1}{2}}$ .

Adjacent $= - \sqrt{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Adjacent $= - \sqrt{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(3)}^{2}}$

Étape 4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

Adjacent $= - \sqrt{13^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

Adjacent $= - \sqrt{13^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

Adjacent $= - \sqrt{13 - {(3)}^{2}}$

Étape 4.2.5

Évaluez l’exposant.

Adjacent $= - \sqrt{13 - {(3)}^{2}}$

Étape 4.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= - \sqrt{13 - 1 \cdot 9}$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

Adjacent $= - \sqrt{13 - 9}$

Étape 4.5

Soustrayez $9$ de $13$ .

Adjacent $= - \sqrt{4}$

Étape 4.6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

Adjacent $= - \sqrt{2^{2}}$

Étape 4.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

Adjacent $= - 1 \cdot 2$

Étape 4.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

Adjacent $= - 2$

Étape 5

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (x) = \frac{3}{\sqrt{13}}$

Étape 5.3

Simplifiez la valeur de $\sin (x)$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{13}}$ par $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (x) = \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Étape 5.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{13}}$ par $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Étape 5.3.2.2

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Étape 5.3.2.3

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Étape 5.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Étape 5.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Étape 5.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{13}}^{2}$ comme $13$ .

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Étape 5.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13}$ comme $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$

Étape 5.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$

Étape 6

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (x) = \frac{- 2}{\sqrt{13}}$

Étape 6.3

Simplifiez la valeur de $\cos (x)$ .

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Étape 6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (x) = - \frac{2}{\sqrt{13}}$

Étape 6.3.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{13}}$ par $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\cos (x) = - (\frac{2}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}})$

Étape 6.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{13}}$ par $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\cos (x) = - \frac{2 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Étape 6.3.3.2

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = - \frac{2 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Étape 6.3.3.3

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = - \frac{2 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Étape 6.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) = - \frac{2 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) = - \frac{2 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Étape 6.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{13}}^{2}$ comme $13$ .

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Étape 6.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13}$ comme $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = - \frac{2 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = - \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (x) = - \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = - \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = - \frac{2 \sqrt{13}}{13}$

Étape 6.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (x) = - \frac{2 \sqrt{13}}{13}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (x) = \frac{3}{- 2}$

Étape 7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\tan (x) = - \frac{3}{2}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (x)$ .

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (x) = \frac{- 2}{3}$

Étape 8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cot (x) = - \frac{2}{3}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (x)$ .

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{13}}{- 2}$

Étape 9.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{13}}{2}$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$

$\cos (x) = - \frac{2 \sqrt{13}}{13}$

$\tan (x) = - \frac{3}{2}$

$\cot (x) = - \frac{2}{3}$

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{13}}{2}$

$\csc (x) = \frac{\sqrt{13}}{3}$