Pré-calcul Exemples

$e^{x} + 2 = 8 e^{- x}$

Étape 1

Soustrayez $8 e^{- x}$ des deux côtés de l’équation.

$e^{x} + 2 - 8 e^{- x} = 0$

Étape 2

Réécrivez $e^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$e^{x} + 2 - 8 {(e^{x})}^{- 1} = 0$

Étape 3

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$u + 2 - 8 u^{- 1} = 0$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 2 - 8 \frac{1}{u} = 0$

Étape 4.2

Associez $- 8$ et $\frac{1}{u}$ .

$u + 2 + \frac{- 8}{u} = 0$

Étape 4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$u + 2 - \frac{8}{u} = 0$

Étape 5

Résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, 1, u, 1$

Étape 5.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 5.2

Multiplier chaque terme dans $u + 2 - \frac{8}{u} = 0$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.2.1

Multipliez chaque terme dans $u + 2 - \frac{8}{u} = 0$ par $u$ .

$u \cdot u + 2 u - \frac{8}{u} u = 0 u$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$u^{2} + 2 u - \frac{8}{u} u = 0 u$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 5.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8}{u}$ dans le numérateur.

$u^{2} + 2 u + \frac{- 8}{u} u = 0 u$

Étape 5.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$u^{2} + 2 u + \frac{- 8}{u} u = 0 u$

Étape 5.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$u^{2} + 2 u - 8 = 0 u$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $0$ par $u$ .

$u^{2} + 2 u - 8 = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation.

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Étape 5.3.1

Factorisez $u^{2} + 2 u - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $2$ .

$- 2, 4$

Étape 5.3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

Étape 5.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 4 = 0$

Étape 5.3.3

Définissez $u - 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.3.3.1

Définissez $u - 2$ égal à $0$ .

$u - 2 = 0$

Étape 5.3.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 2$

Étape 5.3.4

Définissez $u + 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.3.4.1

Définissez $u + 4$ égal à $0$ .

$u + 4 = 0$

Étape 5.3.4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 4$

Étape 5.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 2) (u + 4) = 0$ vraie.

$u = 2, - 4$

Étape 6

Remplacez $u$ par $2$ dans $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Étape 7

Résolvez $2 = e^{x}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Étape 7.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Étape 7.3

Développez le côté gauche.

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Étape 7.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Étape 7.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Étape 7.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (2)$

Étape 8

Remplacez $u$ par $- 4$ dans $u = e^{x}$ .

$- 4 = e^{x}$

Étape 9

Résolvez $- 4 = e^{x}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = - 4$ .

$e^{x} = - 4$

Étape 9.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 4)$

Étape 9.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 4)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 9.4

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = - 4$

Aucune solution

Étape 10

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (2)$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \ln (2)$

Forme décimale :

$x = 0.69314718 \dots$