Pré-calcul Exemples

$2 x^{3} + x^{2} + 4 x - 15$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 5, \pm 2.5$

Étape 3

Remplacez $1.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.1

Remplacez $1.5$ dans le polynôme.

$2 \cdot {1.5}^{3} + {1.5}^{2} + 4 \cdot 1.5 - 15$

Étape 3.2

Élevez $1.5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 3.375 + {1.5}^{2} + 4 \cdot 1.5 - 15$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $3.375$ .

$6.75 + {1.5}^{2} + 4 \cdot 1.5 - 15$

Étape 3.4

Élevez $1.5$ à la puissance $2$ .

$6.75 + 2.25 + 4 \cdot 1.5 - 15$

Étape 3.5

Additionnez $6.75$ et $2.25$ .

$9 + 4 \cdot 1.5 - 15$

Étape 3.6

Multipliez $4$ par $1.5$ .

$9 + 6 - 15$

Étape 3.7

Additionnez $9$ et $6$ .

$15 - 15$

Étape 3.8

Soustrayez $15$ de $15$ .

$0$

Étape 4

Comme $1.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + 4 x - 15}{2 x - 3}$

Étape 5

Divisez $2 x^{3} + x^{2} + 4 x - 15$ par $2 x - 3$ .

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Étape 5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$3$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$15$

Étape 5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$

Étape 5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			+	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Étape 5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$6 x$

Étape 5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$

Étape 5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	-	$15$

Étape 5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $10 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	-	$15$

Étape 5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	-	$15$
							+	$10 x$	-	$15$

Étape 5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $10 x - 15$

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	-	$15$
							-	$10 x$	+	$15$

Étape 5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	-	$15$
							-	$10 x$	+	$15$
										$0$

Étape 5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 2 x + 5$

Étape 6

Écrivez $2 x^{3} + x^{2} + 4 x - 15$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x - 3) (x^{2} + 2 x + 5)$