Pré-calcul Exemples

$2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 7$

Étape 1

Factorisez $2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 7$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 7, \pm 3.5$

Étape 1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$2 \cdot 1^{3} - 11 \cdot 1^{2} + 16 \cdot 1 - 7$

Étape 1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 1 - 11 \cdot 1^{2} + 16 \cdot 1 - 7$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - 11 \cdot 1^{2} + 16 \cdot 1 - 7$

Étape 1.3.4

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$2 - 11 \cdot 1 + 16 \cdot 1 - 7$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 11$ par $1$ .

$2 - 11 + 16 \cdot 1 - 7$

Étape 1.3.6

Soustrayez $11$ de $2$ .

$- 9 + 16 \cdot 1 - 7$

Étape 1.3.7

Multipliez $16$ par $1$ .

$- 9 + 16 - 7$

Étape 1.3.8

Additionnez $- 9$ et $16$ .

$7 - 7$

Étape 1.3.9

Soustrayez $7$ de $7$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 7}{x - 1}$

Étape 1.5

Divisez $2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 7$ par $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x$

$7$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 9 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 9 x^{2} + 9 x$

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$	-	$7$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $7 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$7$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$	-	$7$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$7$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$	-	$7$
							+	$7 x$	-	$7$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $7 x - 7$

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$7$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$	-	$7$
							-	$7 x$	+	$7$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$7$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$	-	$7$
							-	$7 x$	+	$7$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} - 9 x + 7$

Étape 1.6

Écrivez $2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 7$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) (2 x^{2} - 9 x + 7)$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 7 = 14$ et dont la somme est $b = - 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 x$ .

$(x - 1) (2 x^{2} - 9 (x) + 7)$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $- 9$ comme $- 2$ plus $- 7$

$(x - 1) (2 x^{2} + (- 2 - 7) x + 7)$

Étape 2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 1) (2 x^{2} - 2 x - 7 x + 7)$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 1) ((2 x^{2} - 2 x) - 7 x + 7)$

Étape 2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 1) (2 x (x - 1) - 7 (x - 1))$

Étape 2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$(x - 1) ((x - 1) (2 x - 7))$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) (x - 1) (2 x - 7)$

Étape 3

Associez les facteurs similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

${(x - 1)}^{1} (x - 1) (2 x - 7)$

Étape 3.2

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

${(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (2 x - 7)$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x - 1)}^{1 + 1} (2 x - 7)$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x - 1)}^{2} (2 x - 7)$