Pré-calcul Exemples

$2 x^{3} + 7 x^{2} + 4 x - 4$

Étape 1

Factorisez $2 x^{3} + 7 x^{2} + 4 x - 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Étape 1.3

Remplacez $0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $0.5$ dans le polynôme.

$2 \cdot {0.5}^{3} + 7 \cdot {0.5}^{2} + 4 \cdot 0.5 - 4$

Étape 1.3.2

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 0.125 + 7 \cdot {0.5}^{2} + 4 \cdot 0.5 - 4$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $0.125$ .

$0.25 + 7 \cdot {0.5}^{2} + 4 \cdot 0.5 - 4$

Étape 1.3.4

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$0.25 + 7 \cdot 0.25 + 4 \cdot 0.5 - 4$

Étape 1.3.5

Multipliez $7$ par $0.25$ .

$0.25 + 1.75 + 4 \cdot 0.5 - 4$

Étape 1.3.6

Additionnez $0.25$ et $1.75$ .

$2 + 4 \cdot 0.5 - 4$

Étape 1.3.7

Multipliez $4$ par $0.5$ .

$2 + 2 - 4$

Étape 1.3.8

Additionnez $2$ et $2$ .

$4 - 4$

Étape 1.3.9

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} + 7 x^{2} + 4 x - 4}{2 x - 1}$

Étape 1.5

Divisez $2 x^{3} + 7 x^{2} + 4 x - 4$ par $2 x - 1$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$4 x$

$4$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	+	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$8 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	-	$4$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 x - 4$

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 4 x + 4$

Étape 1.6

Écrivez $2 x^{3} + 7 x^{2} + 4 x - 4$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x - 1) (x^{2} + 4 x + 4)$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(2 x - 1) (x^{2} + 4 x + 2^{2})$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$(2 x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$(2 x - 1) {(x + 2)}^{2}$