Pré-calcul Exemples

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 23 x - 12$

Étape 1

Factorisez $2 x^{3} + 3 x^{2} - 23 x - 12$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Étape 1.3

Remplacez $- 0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $- 0.5$ dans le polynôme.

$2 {(- 0.5)}^{3} + 3 {(- 0.5)}^{2} - 23 \cdot - 0.5 - 12$

Étape 1.3.2

Élevez $- 0.5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 0.125 + 3 {(- 0.5)}^{2} - 23 \cdot - 0.5 - 12$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 0.125$ .

$- 0.25 + 3 {(- 0.5)}^{2} - 23 \cdot - 0.5 - 12$

Étape 1.3.4

Élevez $- 0.5$ à la puissance $2$ .

$- 0.25 + 3 \cdot 0.25 - 23 \cdot - 0.5 - 12$

Étape 1.3.5

Multipliez $3$ par $0.25$ .

$- 0.25 + 0.75 - 23 \cdot - 0.5 - 12$

Étape 1.3.6

Additionnez $- 0.25$ et $0.75$ .

$0.5 - 23 \cdot - 0.5 - 12$

Étape 1.3.7

Multipliez $- 23$ par $- 0.5$ .

$0.5 + 11.5 - 12$

Étape 1.3.8

Additionnez $0.5$ et $11.5$ .

$12 - 12$

Étape 1.3.9

Soustrayez $12$ de $12$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $- 0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 23 x - 12}{2 x + 1}$

Étape 1.5

Divisez $2 x^{3} + 3 x^{2} - 23 x - 12$ par $2 x + 1$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$12$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$23 x$	-	$12$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$23 x$	-	$12$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$23 x$	-	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$23 x$	-	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$23 x$	-	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$23 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$23 x$	-	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$23 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$23 x$	-	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} + x$

				$x^{2}$	+	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$23 x$	-	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$23 x$	-	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$23 x$	-	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	-	$12$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 24 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$23 x$	-	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	-	$12$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$23 x$	-	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	-	$12$
							-	$24 x$	-	$12$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 24 x - 12$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$23 x$	-	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	-	$12$
							+	$24 x$	+	$12$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$23 x$	-	$12$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	-	$12$
							+	$24 x$	+	$12$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + x - 12$

Étape 1.6

Écrivez $2 x^{3} + 3 x^{2} - 23 x - 12$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x + 1) (x^{2} + x - 12)$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(2 x + 1) ((x - 3) (x + 4))$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x + 1) (x - 3) (x + 4)$