Pré-calcul Exemples

$20 x^{4} - x^{2} - 1$

Étape 1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$20 {(x^{2})}^{2} - x^{2} - 1$

Étape 2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$20 u^{2} - u - 1$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 20 \cdot - 1 = - 20$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u$ .

$20 u^{2} - (u) - 1$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $4$ plus $- 5$

$20 u^{2} + (4 - 5) u - 1$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$20 u^{2} + 4 u - 5 u - 1$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(20 u^{2} + 4 u) - 5 u - 1$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$4 u (5 u + 1) - (5 u + 1)$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 u + 1$ .

$(5 u + 1) (4 u - 1)$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(5 x^{2} + 1) (4 x^{2} - 1)$

Étape 5

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$(5 x^{2} + 1) ({(2 x)}^{2} - 1)$

Étape 6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(5 x^{2} + 1) ({(2 x)}^{2} - 1^{2})$

Étape 7

Factorisez.

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Étape 7.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 1$ .

$(5 x^{2} + 1) ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Étape 7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(5 x^{2} + 1) (2 x + 1) (2 x - 1)$