Pré-calcul Exemples

$2 x^{4} - 3 x^{3} - 7 x^{2} + 12 x - 4$

Étape 1

Regroupez les termes.

$- 3 x^{3} + 12 x + 2 x^{4} - 7 x^{2} - 4$

Étape 2

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x^{3} + 12 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x (x^{2}) + 12 x + 2 x^{4} - 7 x^{2} - 4$

Étape 2.2

Factorisez $- 3 x$ à partir de $12 x$ .

$- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 4) + 2 x^{4} - 7 x^{2} - 4$

Étape 2.3

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 4)$ .

$- 3 x (x^{2} - 4) + 2 x^{4} - 7 x^{2} - 4$

Étape 3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2^{2}) + 2 x^{4} - 7 x^{2} - 4$

Étape 4

Factorisez.

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Étape 4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$- 3 x ((x + 2) (x - 2)) + 2 x^{4} - 7 x^{2} - 4$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 x (x + 2) (x - 2) + 2 x^{4} - 7 x^{2} - 4$

Étape 5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x + 2) (x - 2) + 2 {(x^{2})}^{2} - 7 x^{2} - 4$

Étape 6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 3 x (x + 2) (x - 2) + 2 u^{2} - 7 u - 4$

Étape 7

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 u$ .

$- 3 x (x + 2) (x - 2) + 2 u^{2} - 7 (u) - 4$

Étape 7.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $1$ plus $- 8$

$- 3 x (x + 2) (x - 2) + 2 u^{2} + (1 - 8) u - 4$

Étape 7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 x (x + 2) (x - 2) + 2 u^{2} + 1 u - 8 u - 4$

Étape 7.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$- 3 x (x + 2) (x - 2) + 2 u^{2} + u - 8 u - 4$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- 3 x (x + 2) (x - 2) + (2 u^{2} + u) - 8 u - 4$

Étape 7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- 3 x (x + 2) (x - 2) + u (2 u + 1) - 4 (2 u + 1)$

Étape 7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + 1$ .

$- 3 x (x + 2) (x - 2) + (2 u + 1) (u - 4)$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 3 x (x + 2) (x - 2) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 4)$

Étape 9

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- 3 x (x + 2) (x - 2) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2^{2})$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$- 3 x (x + 2) (x - 2) + (2 x^{2} + 1) ((x + 2) (x - 2))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 x (x + 2) (x - 2) + (2 x^{2} + 1) (x + 2) (x - 2)$

Étape 11

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $- 3 x (x + 2) (x - 2) + (2 x^{2} + 1) (x + 2) (x - 2)$ .

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Étape 11.1

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $- 3 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x) + (2 x^{2} + 1) (x + 2) (x - 2)$

Étape 11.2

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $(2 x^{2} + 1) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (2 x^{2} + 1)$

Étape 11.3

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $(x + 2) (x - 2) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (2 x^{2} + 1)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x + 2 x^{2} + 1)$

Étape 12

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 u + 2 u^{2} + 1)$

Étape 13

Factorisez par regroupement.

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Étape 13.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 2) (x - 2) (2 u^{2} - 3 u + 1)$

Étape 13.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 13.2.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 u$ .

$(x + 2) (x - 2) (2 u^{2} - 3 (u) + 1)$

Étape 13.2.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1$ plus $- 2$

$(x + 2) (x - 2) (2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1)$

Étape 13.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 2) (x - 2) (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1)$

Étape 13.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 13.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 2) (x - 2) ((2 u^{2} - 1 u) - 2 u + 1)$

Étape 13.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 2) (x - 2) (u (2 u - 1) - (2 u - 1))$

Étape 13.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((2 u - 1) (u - 1))$

Étape 14

Factorisez.

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Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((2 x - 1) (x - 1))$

Étape 14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x - 2) (2 x - 1) (x - 1)$