Pré-calcul Exemples

$x^{3} - 4 x + 3$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 3$

Étape 3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} - 4 \cdot 1 + 3$

Étape 3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 - 4 \cdot 1 + 3$

Étape 3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$1 - 4 + 3$

Étape 3.4

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- 3 + 3$

Étape 3.5

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$0$

Étape 4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x + 3}{x - 1}$

Étape 5

Divisez $x^{3} - 4 x + 3$ par $x - 1$ .

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Étape 5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$3$

Étape 5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$

Étape 5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Étape 5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$

Étape 5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$

Étape 5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Étape 5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Étape 5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$

Étape 5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$	+	$3$

Étape 5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$	+	$3$

Étape 5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	+	$3$

Étape 5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x + 3$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$	+	$3$
							+	$3 x$	-	$3$

Étape 5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$	+	$3$
							+	$3 x$	-	$3$
										$0$

Étape 5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + x - 3$

Étape 6

Écrivez $x^{3} - 4 x + 3$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) (x^{2} + x - 3)$