Pré-calcul Exemples

$x^{5} + 3 x^{4} - 25 x^{3} - 79 x^{2} + 100$

Étape 1

Regroupez les termes.

$x^{5} - 25 x^{3} + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Étape 2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{5} - 25 x^{3}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{5}$ .

$x^{3} x^{2} - 25 x^{3} + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Étape 2.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 25 x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25 + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Étape 2.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25$ .

$x^{3} (x^{2} - 25) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Étape 3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x^{3} (x^{2} - 5^{2}) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Étape 4

Factorisez.

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Étape 4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$x^{3} ((x + 5) (x - 5)) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Étape 5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 {(x^{2})}^{2} - 79 x^{2} + 100$

Étape 6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 79 u + 100$

Étape 7

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 100 = 300$ et dont la somme est $b = - 79$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $- 79$ à partir de $- 79 u$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 79 (u) + 100$

Étape 7.1.2

Réécrivez $- 79$ comme $- 4$ plus $- 75$

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} + (- 4 - 75) u + 100$

Étape 7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 4 u - 75 u + 100$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 u^{2} - 4 u) - 75 u + 100$

Étape 7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + u (3 u - 4) - 25 (3 u - 4)$

Étape 7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u - 4$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 u - 4) (u - 25)$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x^{2} - 25)$

Étape 9

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x^{2} - 5^{2})$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) ((x + 5) (x - 5))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$

Étape 11

Factorisez $(x + 5) (x - 5)$ à partir de $x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$ .

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Étape 11.1

Factorisez $(x + 5) (x - 5)$ à partir de $x^{3} (x + 5) (x - 5)$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$

Étape 11.2

Factorisez $(x + 5) (x - 5)$ à partir de $(3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (x + 5) (x - 5) (3 x^{2} - 4)$

Étape 11.3

Factorisez $(x + 5) (x - 5)$ à partir de $(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (x + 5) (x - 5) (3 x^{2} - 4)$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{3} + 3 x^{2} - 4)$

Étape 12

Factorisez.

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Étape 12.1

Réécrivez $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ en forme factorisée.

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Étape 12.1.1

Factorisez $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 12.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 12.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 12.1.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 12.1.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Étape 12.1.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Étape 12.1.1.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

Étape 12.1.1.3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 + 3 - 4$

Étape 12.1.1.3.5

Additionnez $1$ et $3$ .

$4 - 4$

Étape 12.1.1.3.6

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0$

Étape 12.1.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4}{x - 1}$

Étape 12.1.1.5

Divisez $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ par $x - 1$ .

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Étape 12.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

Étape 12.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$

Étape 12.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 12.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 12.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Étape 12.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 12.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 12.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 12.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 12.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Étape 12.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$

Étape 12.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$

Étape 12.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

Étape 12.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x - 4$

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

Étape 12.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$
										$0$

Étape 12.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 4 x + 4$

Étape 12.1.1.6

Écrivez $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 4 x + 4))$

Étape 12.1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 12.1.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 4 x + 2^{2}))$

Étape 12.1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 12.1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}))$

Étape 12.1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) {(x + 2)}^{2})$

Étape 12.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 5) (x - 5) (x - 1) {(x + 2)}^{2}$