Pré-calcul Exemples

$\frac{3}{x + 6} + \frac{6 x}{x^{2} - 36} - \frac{20}{x - 6}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{3}{x + 6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 36}$ .

$\frac{3}{x + 6} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 36} + \frac{6 x}{x^{2} - 36} - \frac{20}{x - 6}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{6 x}{x^{2} - 36}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{3}{x + 6} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 36} + \frac{6 x}{x^{2} - 36} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{20}{x - 6}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 6) (x^{2} - 36)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{3}{x + 6}$ par $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 36}$ .

$\frac{3 (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} + \frac{6 x}{x^{2} - 36} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{20}{x - 6}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{6 x}{x^{2} - 36}$ par $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{3 (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} + \frac{6 x (x + 6)}{(x^{2} - 36) (x + 6)} - \frac{20}{x - 6}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} - 36) (x + 6)$ .

$\frac{3 (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} + \frac{6 x (x + 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} - \frac{20}{x - 6}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} - \frac{20}{x - 6}$

Étape 5

Pour écrire $\frac{3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} - \frac{20}{x - 6}$

Étape 6

Pour écrire $- \frac{20}{x - 6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 6) (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)}$ .

$\frac{3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} - \frac{20}{x - 6} \cdot \frac{(x + 6) (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 6) (x^{2} - 36) (x - 6)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36)}$ par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{(3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)) (x - 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36) (x - 6)} - \frac{20}{x - 6} \cdot \frac{(x + 6) (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{20}{x - 6}$ par $\frac{(x + 6) (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)}$ .

$\frac{(3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)) (x - 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36) (x - 6)} - \frac{20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x - 6) ((x + 6) (x^{2} - 36))}$

Étape 7.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 6) (x^{2} - 36) (x - 6)$ .

$\frac{(3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)} - \frac{20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x - 6) ((x + 6) (x^{2} - 36))}$

Étape 7.4

Réorganisez les facteurs de $(x - 6) ((x + 6) (x^{2} - 36))$ .

$\frac{(3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)} - \frac{20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9

Réécrivez $\frac{(3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$ en forme factorisée.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 36 + 6 x (x + 6)) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.1.2

Multipliez $3$ par $- 36$ .

$\frac{(3 x^{2} - 108 + 6 x (x + 6)) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x^{2} - 108 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 6) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{(3 x^{2} - 108 + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot 6) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{(3 x^{2} - 108 + 6 x^{2} + 6 x \cdot 6) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.1.5

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{(3 x^{2} - 108 + 6 x^{2} + 36 x) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.2

Additionnez $3 x^{2}$ et $6 x^{2}$ .

$\frac{(9 x^{2} - 108 + 36 x) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.3

Développez $(9 x^{2} - 108 + 36 x) (x - 6)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{9 x^{2} x + 9 x^{2} \cdot - 6 - 108 x - 108 \cdot - 6 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.4.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{9 (x \cdot x^{2}) + 9 x^{2} \cdot - 6 - 108 x - 108 \cdot - 6 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.4.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 9.4.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 (x^{1} x^{2}) + 9 x^{2} \cdot - 6 - 108 x - 108 \cdot - 6 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 x^{1 + 2} + 9 x^{2} \cdot - 6 - 108 x - 108 \cdot - 6 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.4.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{9 x^{3} + 9 x^{2} \cdot - 6 - 108 x - 108 \cdot - 6 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.4.2

Multipliez $- 6$ par $9$ .

$\frac{9 x^{3} - 54 x^{2} - 108 x - 108 \cdot - 6 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.4.3

Multipliez $- 108$ par $- 6$ .

$\frac{9 x^{3} - 54 x^{2} - 108 x + 648 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.4.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.4.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{9 x^{3} - 54 x^{2} - 108 x + 648 + 36 (x \cdot x) + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.4.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{9 x^{3} - 54 x^{2} - 108 x + 648 + 36 x^{2} + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.4.5

Multipliez $- 6$ par $36$ .

$\frac{9 x^{3} - 54 x^{2} - 108 x + 648 + 36 x^{2} - 216 x - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.5

Additionnez $- 54 x^{2}$ et $36 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 108 x + 648 - 216 x - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.6

Soustrayez $216 x$ de $- 108 x$ .

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.7

Développez $(x + 6) (x^{2} - 36)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x (x^{2} - 36) + 6 (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x \cdot x^{2} + x \cdot - 36 + 6 (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x \cdot x^{2} + x \cdot - 36 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 36)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.8.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.8.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 9.8.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x^{1} x^{2} + x \cdot - 36 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 36)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.8.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x^{1 + 2} + x \cdot - 36 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 36)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.8.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x^{3} + x \cdot - 36 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 36)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.8.2

Déplacez $- 36$ à gauche de $x$ .

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x^{3} - 36 x + 6 x^{2} + 6 \cdot - 36)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.8.3

Multipliez $6$ par $- 36$ .

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x^{3} - 36 x + 6 x^{2} - 216)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 x^{3} - 20 (- 36 x) - 20 (6 x^{2}) - 20 \cdot - 216}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.10

Simplifiez

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Étape 9.10.1

Multipliez $- 36$ par $- 20$ .

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 x^{3} + 720 x - 20 (6 x^{2}) - 20 \cdot - 216}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.10.2

Multipliez $6$ par $- 20$ .

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 x^{3} + 720 x - 120 x^{2} - 20 \cdot - 216}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.10.3

Multipliez $- 20$ par $- 216$ .

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 x^{3} + 720 x - 120 x^{2} + 4320}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.11

Soustrayez $20 x^{3}$ de $9 x^{3}$ .

$\frac{- 11 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 + 720 x - 120 x^{2} + 4320}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.12

Soustrayez $120 x^{2}$ de $- 18 x^{2}$ .

$\frac{- 11 x^{3} - 138 x^{2} - 324 x + 648 + 720 x + 4320}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.13

Additionnez $- 324 x$ et $720 x$ .

$\frac{- 11 x^{3} - 138 x^{2} + 396 x + 648 + 4320}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.14

Additionnez $648$ et $4320$ .

$\frac{- 11 x^{3} - 138 x^{2} + 396 x + 4968}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.15

Réécrivez $- 11 x^{3} - 138 x^{2} + 396 x + 4968$ en forme factorisée.

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Étape 9.15.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.15.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- 11 x^{3} - 138 x^{2}) + 396 x + 4968}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.15.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x^{2} (- 11 x - 138) - 36 (- 11 x - 138)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.15.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 11 x - 138$ .

$\frac{(- 11 x - 138) (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.15.3

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{(- 11 x - 138) (x^{2} - 6^{2})}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.15.4

Factorisez.

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Étape 9.15.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$\frac{(- 11 x - 138) ((x + 6) (x - 6))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.15.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Étape 9.16

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 6^{2})}$

Étape 9.17

Factorisez.

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Étape 9.17.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + 6) (x - 6))}$

Étape 9.17.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6) (x + 6) (x - 6)}$

Étape 9.18

Associez les exposants.

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Étape 9.18.1

Élevez $x + 6$ à la puissance $1$ .

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{1} (x + 6) (x - 6) (x - 6)}$

Étape 9.18.2

Élevez $x + 6$ à la puissance $1$ .

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{1} {(x + 6)}^{1} (x - 6) (x - 6)}$

Étape 9.18.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{1 + 1} (x - 6) (x - 6)}$

Étape 9.18.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6) (x - 6)}$

Étape 9.18.5

Élevez $x - 6$ à la puissance $1$ .

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} ({(x - 6)}^{1} (x - 6))}$

Étape 9.18.6

Élevez $x - 6$ à la puissance $1$ .

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} ({(x - 6)}^{1} {(x - 6)}^{1})}$

Étape 9.18.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{1 + 1}}$

Étape 9.18.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2}}$

Étape 9.19

Réduisez l’expression $\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.19.1

Factorisez $x + 6$ à partir de $(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)$ .

$\frac{(x + 6) ((- 11 x - 138) (x - 6))}{{(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2}}$

Étape 9.19.2

Factorisez $x + 6$ à partir de ${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{(x + 6) ((- 11 x - 138) (x - 6))}{(x + 6) ((x + 6) {(x - 6)}^{2})}$

Étape 9.19.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 6) ((- 11 x - 138) (x - 6))}{(x + 6) ((x + 6) {(x - 6)}^{2})}$

Étape 9.19.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{(- 11 x - 138) (x - 6)}{(x + 6) {(x - 6)}^{2}}$

Étape 10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 11 x - 138$ .

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Étape 10.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 11 x$ .

$\frac{(- (11 x) - 138) (x - 6)}{(x + 6) {(x - 6)}^{2}}$

Étape 10.2

Réécrivez $- 138$ comme $- 1 (138)$ .

$\frac{(- (11 x) - 1 (138)) (x - 6)}{(x + 6) {(x - 6)}^{2}}$

Étape 10.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (11 x) - 1 (138)$ .

$\frac{- (11 x + 138) (x - 6)}{(x + 6) {(x - 6)}^{2}}$

Étape 11

Réduisez l’expression $\frac{- (11 x + 138) (x - 6)}{(x + 6) {(x - 6)}^{2}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 11.1

Factorisez $x - 6$ à partir de $- (11 x + 138) (x - 6)$ .

$\frac{(x - 6) (- (11 x + 138))}{(x + 6) {(x - 6)}^{2}}$

Étape 11.2

Factorisez $x - 6$ à partir de $(x + 6) {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{(x - 6) (- (11 x + 138))}{(x - 6) ((x + 6) (x - 6))}$

Étape 11.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 6) (- (11 x + 138))}{(x - 6) ((x + 6) (x - 6))}$

Étape 11.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- (11 x + 138)}{(x + 6) (x - 6)}$