Pré-calcul Exemples

$\cos^{2} (\frac{π}{8}) - \sin^{2} (\frac{π}{8})$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (\frac{π}{8})$ et $b = \sin (\frac{π}{8})$ .

$(\cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$(\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.1.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le premier quadrant.

$(\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.1.5

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Étape 2.1.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$(\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.1.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.1.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.1.5.4

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.1.5.4.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$(\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.1.5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.1.5.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.1.5.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.5.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.1.5.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{8})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.2.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le sinus est positif dans le premier quadrant.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.2.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Étape 2.2.4.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.2.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.2.4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.2.4.5

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.2.4.5.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.2.4.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.2.4.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.2.4.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.4.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.2.4.7.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\cos (\frac{π}{8}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez $\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.4.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le premier quadrant.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.4.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.4.5

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Étape 2.4.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.4.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.4.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.4.5.4

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.4.5.4.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.4.5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.4.5.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.4.5.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.5.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.4.5.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 2.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez $\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}))$

Étape 2.5.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Étape 2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le sinus est positif dans le premier quadrant.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Étape 2.5.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Étape 2.5.4.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 2.5.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 2.5.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 2.5.4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Étape 2.5.4.5

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.5.4.5.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Étape 2.5.4.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

Étape 2.5.4.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})$

Étape 2.5.4.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.4.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})$

Étape 2.5.4.7.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} - \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} - \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Forme décimale :

$0.70710678 \dots$