Pré-calcul Exemples

$x^{2} (x - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Étape 1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} x + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Étape 2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Étape 2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Étape 2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x^{3} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

Étape 3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{2}$ .

$(x^{3} - 2 x^{2}) (x + 2) + 3 x + 6$

Étape 4

Développez $(x^{3} - 2 x^{2}) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} (x + 2) - 2 x^{2} (x + 2) + 3 x + 6$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} (x + 2) + 3 x + 6$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Étape 5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.1.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 5.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Étape 5.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Étape 5.1.1.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{4} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Étape 5.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Étape 5.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.3.1

Déplacez $x$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Étape 5.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Étape 5.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Étape 5.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

Étape 5.1.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

Étape 5.2

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$x^{4} + 0 - 4 x^{2} + 3 x + 6$

Étape 5.3

Additionnez $x^{4}$ et $0$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

Étape 6

Réécrivez $x^{4} - 4 x^{2} + 3 x + 6$ en forme factorisée.

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Étape 6.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 4 x^{2}$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

Étape 6.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 + 3 x + 6$

Étape 6.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4$ .

$x^{2} (x^{2} - 4) + 3 x + 6$

Étape 6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 2^{2}) + 3 x + 6$

Étape 6.3

Factorisez.

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Étape 6.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$x^{2} ((x + 2) (x - 2)) + 3 x + 6$

Étape 6.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 x + 6$

Étape 6.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 6$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x) + 6$

Étape 6.4.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 x + 3 \cdot 2$

Étape 6.4.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2)$

Étape 6.5

Factorisez $x + 2$ à partir de $x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2)$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $x^{2} (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + 3 (x + 2)$

Étape 6.5.2

Factorisez $x + 2$ à partir de $3 (x + 2)$ .

$(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + (x + 2) \cdot 3$

Étape 6.5.3

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + (x + 2) \cdot 3$ .

$(x + 2) (x^{2} (x - 2) + 3)$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

Étape 6.7

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.7.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x + 2) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

Étape 6.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 2) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

Étape 6.7.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x + 2) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

Étape 6.8

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 3)$

Étape 6.9

Factorisez.

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Étape 6.9.1

Factorisez $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 6.9.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 6.9.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 3$

Étape 6.9.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 6.9.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

Étape 6.9.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

Étape 6.9.1.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 - 2 \cdot 1 + 3$

Étape 6.9.1.3.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 1 - 2 + 3$

Étape 6.9.1.3.5

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- 3 + 3$

Étape 6.9.1.3.6

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$0$

Étape 6.9.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 3}{x + 1}$

Étape 6.9.1.5

Divisez $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ par $x + 1$ .

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Étape 6.9.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

Étape 6.9.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$

Étape 6.9.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 6.9.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 6.9.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Étape 6.9.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 6.9.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 6.9.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 6.9.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{2} - 3 x$

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 6.9.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$

Étape 6.9.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$

Étape 6.9.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$

Étape 6.9.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							+	$3 x$	+	$3$

Étape 6.9.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x + 3$

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	-	$3$

Étape 6.9.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	-	$3$
										$0$

Étape 6.9.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 3 x + 3$

Étape 6.9.1.6

Écrivez $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 2) ((x + 1) (x^{2} - 3 x + 3))$

Étape 6.9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x + 1) (x^{2} - 3 x + 3)$