Pré-calcul Exemples

$\csc^{2} (x) - 1 = 0$ , $(0, 2 π)$

Étape 1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\csc^{2} (x) = 1$

Étape 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{1}$

Étape 3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\csc (x) = \pm 1$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\csc (x) = 1$

Étape 4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\csc (x) = - 1$

Étape 4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\csc (x) = 1, - 1$

Étape 5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 1$

Étape 6

Résolvez $x$ dans $\csc (x) = 1$ .

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Étape 6.1

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (1)$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $arccsc (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 6.3

La fonction cosécante est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 6.4

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 6.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.4.2

Associez les fractions.

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Étape 6.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 6.4.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 6.5

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.6

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Résolvez $x$ dans $\csc (x) = - 1$ .

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Étape 7.1

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (- 1)$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $arccsc (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 7.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 7.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 7.4.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 7.5

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 7.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 7.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 7.6.3

Associez les fractions.

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Étape 7.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 7.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 7.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.6.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 7.6.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 7.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 7.7

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Déterminez les valeurs de $n$ qui produisent une valeur sur l’intervalle $(0, 2 π)$ .

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Étape 10.1

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $(0, 2 π)$ .

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Étape 10.1.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{π}{2} + π (0)$

Étape 10.1.2

Simplifiez

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Étape 10.1.2.1

Multipliez $π$ par $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Étape 10.1.2.2

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 10.1.3

L’intervalle $(0, 2 π)$ contient $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 10.2

Insérez $1$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $(0, 2 π)$ .

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Étape 10.2.1

Insérez $1$ pour $n$ .

$\frac{π}{2} + π (1)$

Étape 10.2.2

Simplifiez

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Étape 10.2.2.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{π}{2} + π$

Étape 10.2.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 10.2.2.3

Associez les fractions.

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Étape 10.2.2.3.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Étape 10.2.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

Étape 10.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.2.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Étape 10.2.2.4.2

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 10.2.3

L’intervalle $(0, 2 π)$ contient $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$