Pré-calcul Exemples

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$ , $[0, 2 π]$

Étape 1

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 0$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$u^{2} + 2 u + 1^{2} = 0$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Étape 3

Définissez le $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 5

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - 1$

Étape 6

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 8

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 9

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 10

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 10.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π]$ .

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Étape 12.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$π + 2 π (0)$

Étape 12.2

Simplifiez

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Étape 12.2.1

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$π + 0 π$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$π + 0$

Étape 12.2.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$π$

Étape 12.3

L’intervalle $[0, 2 π]$ contient $π$ .

$x = π$