Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$ est indéfinie.

$x = 0, x = 1$

Étape 2

Comme $\frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la gauche et $\frac{x^{3} - 1}{x - x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la droite, $x = 0$ est une asymptote verticale.

$x = 0$

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x - x^{2}}$

Étape 6.1.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x - x^{2}}$

Étape 6.1.1.3

Simplifiez

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Étape 6.1.1.3.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x - x^{2}}$

Étape 6.1.1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - x^{2}}$

Étape 6.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x - x^{2}$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{1} - x^{2}}$

Étape 6.1.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot 1 - x^{2}}$

Étape 6.1.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot 1 + x (- x)}$

Étape 6.1.2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun à $x - 1$ et $1 - x$ .

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Étape 6.1.2.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

Étape 6.1.2.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (1)) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

Étape 6.1.2.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x (1 - x)}$

Étape 6.1.2.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x (- x + 1)}$

Étape 6.1.2.2.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x (- x + 1)}$

Étape 6.1.2.2.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (x^{2} + x + 1)}{x}$

Étape 6.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} + x + 1}{x}$

Étape 6.2

Développez $- (x^{2} + x + 1)$ .

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Étape 6.2.1

Inversez $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{- (x^{2} + x + 1)}{x}$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (x^{2} + x) - 1 \cdot 1}{x}$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} - x - 1 \cdot 1}{x}$

Étape 6.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- x^{2} - x - 1}{x}$

Étape 6.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$x$

$1$

Étape 6.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$

Étape 6.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

Étape 6.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} + 0$

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

Étape 6.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$

Étape 6.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$

Étape 6.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$

Étape 6.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$
					-	$x$	+	$0$

Étape 6.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x + 0$

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	-	$0$

Étape 6.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	-	$0$
							-	$1$

Étape 6.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$- x - 1 - \frac{1}{x}$

Étape 6.14

Divisez la solution en la partie polynomiale du reste.

$- x - 1 + \frac{x - 1}{- x^{2} + x}$

Étape 6.15

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = - x - 1$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = - x - 1$

Étape 8