Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 5}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 5}$ est indéfinie.

$x = - 5$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 6.1.1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 5^{2}}{x + 5}$

Étape 6.1.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Étape 6.1.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}{x + 5}$

Étape 6.1.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x + 5}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun à ${(x + 5)}^{2}$ et $x + 5$ .

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $x + 5$ à partir de ${(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{(x + 5) (x + 5)}{x + 5}$

Étape 6.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{(x + 5) (x + 5)}{(x + 5) \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 5) (x + 5)}{(x + 5) \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 5}{1}$

Étape 6.1.2.2.4

Divisez $x + 5$ par $1$ .

$x + 5$

Étape 6.2

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x + 5$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x + 5$

Étape 8