Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ est indéfinie.

$x = - 5, x = 1$

Étape 2

Comme $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 5$ depuis la gauche et $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 5$ depuis la droite, $x = - 5$ est une asymptote verticale.

$x = - 5$

Étape 3

Comme $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $1$ depuis la gauche et $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $1$ depuis la droite, $x = 1$ est une asymptote verticale.

$x = 1$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - 5, 1$

Étape 5

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 7

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 8

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 8.1

Factorisez $x^{2} + 4 x - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $4$ .

$- 1, 5$

Étape 8.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{5 x^{3} - 4}{(x - 1) (x + 5)}$

Étape 8.2

Développez $(x - 1) (x + 5)$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x (x + 5) - 1 (x + 5)}$

Étape 8.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 (x + 5)}$

Étape 8.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}$

Étape 8.2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $5$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Étape 8.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Étape 8.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Étape 8.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{1 + 1} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Étape 8.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Étape 8.2.9

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 5 x - 1 x - 5}$

Étape 8.2.10

Soustrayez $1 x$ de $5 x$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 8.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Étape 8.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Étape 8.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

Étape 8.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x^{3} + 20 x^{2} - 25 x$

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

Étape 8.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

Étape 8.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

$4$

Étape 8.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 20 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$

Étape 8.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$
							-	$20 x^{2}$	-	$80 x$	+	$100$

Étape 8.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 20 x^{2} - 80 x + 100$

$5 x$

$20$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

$4$

$20 x^{2}$

$80 x$

$100$

Étape 8.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$
							+	$20 x^{2}$	+	$80 x$	-	$100$
									+	$105 x$	-	$104$

Étape 8.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$5 x - 20 + \frac{105 x - 104}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 8.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 5 x - 20$

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 5, 1$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 5 x - 20$

Étape 10