Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{6 x - x^{2}}{5 x - 5}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{6 x - x^{2}}{5 x - 5}$ est indéfinie.

$x = 1$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $6 x - x^{2}$ .

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Étape 5.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $6 x$ .

$\frac{x \cdot 6 - x^{2}}{5 x - 5}$

Étape 5.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 6 + x (- x)}{5 x - 5}$

Étape 5.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 6 + x (- x)$ .

$\frac{x (6 - x)}{5 x - 5}$

Étape 5.1.2

Factorisez $5$ à partir de $5 x - 5$ .

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{x (6 - x)}{5 (x) - 5}$

Étape 5.1.2.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$\frac{x (6 - x)}{5 (x) + 5 (- 1)}$

Étape 5.1.2.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (x) + 5 (- 1)$ .

$\frac{x (6 - x)}{5 (x - 1)}$

Étape 5.2

Développez $x (6 - x)$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 6 + x (- x)}{5 (x - 1)}$

Étape 5.2.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $6$ .

$\frac{6 \cdot x + x (- x)}{5 (x - 1)}$

Étape 5.2.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{6 \cdot x + x \cdot (- 1 x)}{5 (x - 1)}$

Étape 5.2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 1$ .

$\frac{6 x - 1 \cdot (x \cdot x)}{5 (x - 1)}$

Étape 5.2.5

Multipliez $- 1$ par $x$ .

$\frac{6 x - 1 x \cdot x}{5 (x - 1)}$

Étape 5.2.6

Factorisez le signe négatif.

$\frac{6 x - (x \cdot x)}{5 (x - 1)}$

Étape 5.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 x - (x \cdot x)}{5 (x - 1)}$

Étape 5.2.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 x - (x \cdot x)}{5 (x - 1)}$

Étape 5.2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 x - x^{1 + 1}}{5 (x - 1)}$

Étape 5.2.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 x - x^{2}}{5 (x - 1)}$

Étape 5.2.11

Remettez dans l’ordre $6 x$ et $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 6 x}{5 (x - 1)}$

Étape 5.3

Développez $5 (x - 1)$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} + 6 x}{5 x + 5 \cdot - 1}$

Étape 5.3.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 6 x}{5 x - 5}$

Étape 5.4

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$5 x$

$5$

$x^{2}$

$6 x$

$0$

Étape 5.5

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $5 x$ .

				-	$\frac{x}{5}$
	$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$

Étape 5.6

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$\frac{x}{5}$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Étape 5.7

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} + x$

			-	$\frac{x}{5}$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Étape 5.8

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$\frac{x}{5}$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$

Étape 5.9

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$\frac{x}{5}$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$

Étape 5.10

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $5 x$ .

			-	$\frac{x}{5}$	+	$1$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$

Étape 5.11

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$\frac{x}{5}$	+	$1$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$
					+	$5 x$	-	$5$

Étape 5.12

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x - 5$

			-	$\frac{x}{5}$	+	$1$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$
					-	$5 x$	+	$5$

Étape 5.13

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$\frac{x}{5}$	+	$1$
$5 x$	-	$5$	-	$x^{2}$	+	$6 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$
					+	$5 x$	+	$0$
					-	$5 x$	+	$5$
							+	$5$

Étape 5.14

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$- \frac{x}{5} + 1 + \frac{5}{5 x - 5}$

Étape 5.15

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = - \frac{x}{5} + 1$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 1$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = - \frac{x}{5} + 1$

Étape 7