Pré-calcul Exemples

$y = a {(x - h)}^{2} + k \cdot 4 x^{2} + 8 x - 4$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $a {(x - h)}^{2} + k \cdot (4 x^{2}) + 8 x - 4 = y$ .

$a {(x - h)}^{2} + k \cdot (4 x^{2}) + 8 x - 4 = y$

Étape 2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a {(x - h)}^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - 4 = y$

Étape 3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$a {(x - h)}^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Étape 4

Réécrivez ${(x - h)}^{2}$ comme $(x - h) (x - h)$ .

$a ((x - h) (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Étape 5

Développez $(x - h) (x - h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$a (x (x - h) - h (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$a (x \cdot x + x (- h) - h (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$a (x \cdot x + x (- h) - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$a (x^{2} + x (- h) - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Étape 6.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a (x^{2} - x h - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Étape 6.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h \cdot h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Étape 6.1.4

Multipliez $h$ par $h$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.4.1

Déplacez $h$ .

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 (h \cdot h))) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Étape 6.1.4.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h^{2})) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Étape 6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a (x^{2} - x h - h x + 1 h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Étape 6.1.6

Multipliez $h^{2}$ par $1$ .

$a (x^{2} - x h - h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Étape 6.2

Soustrayez $h x$ de $- x h$ .

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Étape 6.2.1

Déplacez $x$ .

$a (x^{2} - h x - h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Étape 6.2.2

Soustrayez $h x$ de $- h x$ .

$a (x^{2} - 2 h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Étape 7

Appliquez la propriété distributive.

$a x^{2} + a (- 2 h x) + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Étape 8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

Étape 9

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - y = 4$

Étape 9.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - y - 4 = 0$

Étape 10

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 11

Remplacez les valeurs $a = a + 4 k$ , $b = - 2 a h + 8$ et $c = a h^{2} - y - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- (- 2 a h + 8) \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- (- 2 a h) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 (a h) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$x = \frac{2 (a h) - 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.4

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{{(- 2 (a h) + 8)}^{2} - 4 \cdot ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.5

Laissez $u = (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ . Remplacez toutes les occurrences de $(a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ par $u$ .

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Étape 12.5.1

Réécrivez ${(- 2 a h + 8)}^{2}$ comme $(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.5.2

Développez $(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 12.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h + 8) + 8 (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 12.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.5.3.1.1

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.5.3.1.1.1

Déplacez $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 (a \cdot a) h (- 2 h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.5.3.1.1.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} h (- 2 h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.5.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.5.3.1.2.1

Déplacez $h$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} (h \cdot h) \cdot - 2 - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.5.3.1.2.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} h^{2} \cdot - 2 - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.5.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.5.3.1.4

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.5.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h - 16 (a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.5.3.1.6

Multipliez $8$ par $8$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h - 16 a h + 64 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.5.3.2

Soustrayez $16 a h$ de $- 16 a h$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.6

Factorisez $4$ à partir de $4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 u$ .

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Étape 12.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 a^{2} h^{2}$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) - 32 a h + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 32 a h$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.6.3

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 4 (16) - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.6.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (a^{2} h^{2} - 8 a h) + 4 (16)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.6.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - u)}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)))}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.8

Simplifiez

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Étape 12.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.8.1.1

Développez $(a + 4 k) (a h^{2} - y - 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a (a h^{2}) + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.8.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.8.1.2.1

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.8.1.2.1.1

Déplacez $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a \cdot a h^{2} + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.8.1.2.1.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.8.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.8.1.2.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 \cdot a + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.8.1.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} + 4 \cdot (- 1 k y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.8.1.2.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} - 4 k y + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.8.1.2.6

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} - 4 k y - 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2}) - (- a y) - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.8.1.4

Simplifiez

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Étape 12.8.1.4.1

Multipliez $- (- a y)$ .

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Étape 12.8.1.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + 1 (a y) - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.8.1.4.1.2

Multipliez $a$ par $1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.8.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.8.1.4.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.8.1.4.4

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) + 4 (k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.8.1.4.5

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) + 4 (k y) + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.8.1.5

Supprimez les parenthèses.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.8.2

Associez les termes opposés dans $a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k$ .

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Étape 12.8.2.1

Soustrayez $a^{2} h^{2}$ de $a^{2} h^{2}$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 a h + 16 + 0 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.8.2.2

Additionnez $- 8 a h + 16$ et $0$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.9

Réécrivez $4 (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)$ comme $2^{2} (- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)$ .

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Étape 12.9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{2^{2} (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.9.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{2^{2} (- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm 2 \sqrt{- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 12.11

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm 2 \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{2 (a + 4 k)}$

Étape 13

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{a h - 4 + \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{a + 4 k}$

$x = \frac{a h - 4 - \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{a + 4 k}$