Pré-calcul Exemples

$\frac{8 - i}{9 + i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{8 - i}{9 + 1 i}$ par le conjugué de $9 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{8 - i}{9 + 1 i} \cdot \frac{9 - i}{9 - i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(8 - i) (9 - i)}{(9 + 1 i) (9 - i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(8 - i) (9 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (9 - i) - i (9 - i)}{(9 + 1 i) (9 - i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 \cdot 9 + 8 (- i) - i (9 - i)}{(9 + 1 i) (9 - i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 \cdot 9 + 8 (- i) - i \cdot 9 - i (- i)}{(9 + 1 i) (9 - i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $8$ par $9$ .

$\frac{72 + 8 (- i) - i \cdot 9 - i (- i)}{(9 + 1 i) (9 - i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{72 - 8 i - i \cdot 9 - i (- i)}{(9 + 1 i) (9 - i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{72 - 8 i - 9 i - i (- i)}{(9 + 1 i) (9 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- i (- i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{72 - 8 i - 9 i + 1 i i}{(9 + 1 i) (9 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{72 - 8 i - 9 i + 1 (i^{1} i)}{(9 + 1 i) (9 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{72 - 8 i - 9 i + 1 (i^{1} i^{1})}{(9 + 1 i) (9 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{72 - 8 i - 9 i + 1 i^{1 + 1}}{(9 + 1 i) (9 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{72 - 8 i - 9 i + 1 i^{2}}{(9 + 1 i) (9 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.6

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$\frac{72 - 8 i - 9 i + i^{2}}{(9 + 1 i) (9 - i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{72 - 8 i - 9 i - 1}{(9 + 1 i) (9 - i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $72$ .

$\frac{71 - 8 i - 9 i}{(9 + 1 i) (9 - i)}$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez $9 i$ de $- 8 i$ .

$\frac{71 - 17 i}{(9 + 1 i) (9 - i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(9 + 1 i) (9 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{71 - 17 i}{9 (9 - i) + 1 i (9 - i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{71 - 17 i}{9 \cdot 9 + 9 (- i) + 1 i (9 - i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{71 - 17 i}{9 \cdot 9 + 9 (- i) + 1 i \cdot 9 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{71 - 17 i}{81 + 9 (- i) + 1 i \cdot 9 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{71 - 17 i}{81 - 9 i + 1 i \cdot 9 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{71 - 17 i}{81 - 9 i + 9 i + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{71 - 17 i}{81 - 9 i + 9 i - i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{71 - 17 i}{81 - 9 i + 9 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{71 - 17 i}{81 - 9 i + 9 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{71 - 17 i}{81 - 9 i + 9 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{71 - 17 i}{81 - 9 i + 9 i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 9 i$ et $9 i$ .

$\frac{71 - 17 i}{81 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $81$ et $0$ .

$\frac{71 - 17 i}{81 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{71 - 17 i}{81 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{71 - 17 i}{81 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $81$ et $1$ .

$\frac{71 - 17 i}{82}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{71 - 17 i}{82}$ en deux fractions.

$\frac{71}{82} + \frac{- 17 i}{82}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{71}{82} - \frac{17 i}{82}$