Pré-calcul Exemples

$\frac{3 i}{{(4 - 5 i)}^{2}}$

Étape 1

Réécrivez ${(4 - 5 i)}^{2}$ comme $(4 - 5 i) (4 - 5 i)$ .

$\frac{3 i}{(4 - 5 i) (4 - 5 i)}$

Étape 2

Développez $(4 - 5 i) (4 - 5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 i}{4 (4 - 5 i) - 5 i (4 - 5 i)}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 i}{4 \cdot 4 + 4 (- 5 i) - 5 i (4 - 5 i)}$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 i}{4 \cdot 4 + 4 (- 5 i) - 5 i \cdot 4 - 5 i (- 5 i)}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{3 i}{16 + 4 (- 5 i) - 5 i \cdot 4 - 5 i (- 5 i)}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 5 i \cdot 4 - 5 i (- 5 i)}$

Étape 3.1.3

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i - 5 i (- 5 i)}$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 5 i (- 5 i)$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i + 25 i i}$

Étape 3.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i + 25 (i^{1} i)}$

Étape 3.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i + 25 (i^{1} i^{1})}$

Étape 3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i + 25 i^{1 + 1}}$

Étape 3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i + 25 i^{2}}$

Étape 3.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i + 25 \cdot - 1}$

Étape 3.1.6

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$\frac{3 i}{16 - 20 i - 20 i - 25}$

Étape 3.2

Soustrayez $25$ de $16$ .

$\frac{3 i}{- 9 - 20 i - 20 i}$

Étape 3.3

Soustrayez $20 i$ de $- 20 i$ .

$\frac{3 i}{- 9 - 40 i}$

Étape 4

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{3 i}{- 9 - 40 i}$ par le conjugué de $- 9 - 40 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{3 i}{- 9 - 40 i} \cdot \frac{- 9 + 40 i}{- 9 + 40 i}$

Étape 5

Multipliez.

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Étape 5.1

Associez.

$\frac{3 i (- 9 + 40 i)}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 i \cdot - 9 + 3 i (40 i)}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Étape 5.2.2

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$\frac{- 27 i + 3 i (40 i)}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Étape 5.2.3

Multipliez $3 i (40 i)$ .

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $40$ par $3$ .

$\frac{- 27 i + 120 i i}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Étape 5.2.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 27 i + 120 (i^{1} i)}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Étape 5.2.3.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 27 i + 120 (i^{1} i^{1})}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Étape 5.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 27 i + 120 i^{1 + 1}}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Étape 5.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 27 i + 120 i^{2}}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 27 i + 120 \cdot - 1}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $120$ par $- 1$ .

$\frac{- 27 i - 120}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Étape 5.2.5

Remettez dans l’ordre $- 27 i$ et $- 120$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)}$

Étape 5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Développez $(- 9 - 40 i) (- 9 + 40 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 120 - 27 i}{- 9 (- 9 + 40 i) - 40 i (- 9 + 40 i)}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 120 - 27 i}{- 9 \cdot - 9 - 9 (40 i) - 40 i (- 9 + 40 i)}$

Étape 5.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 120 - 27 i}{- 9 \cdot - 9 - 9 (40 i) - 40 i \cdot - 9 - 40 i (40 i)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $- 9$ par $- 9$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 9 (40 i) - 40 i \cdot - 9 - 40 i (40 i)}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $40$ par $- 9$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i - 40 i \cdot - 9 - 40 i (40 i)}$

Étape 5.3.2.3

Multipliez $- 9$ par $- 40$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i + 360 i - 40 i (40 i)}$

Étape 5.3.2.4

Multipliez $40$ par $- 40$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i + 360 i - 1600 i i}$

Étape 5.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i + 360 i - 1600 (i^{1} i)}$

Étape 5.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i + 360 i - 1600 (i^{1} i^{1})}$

Étape 5.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i + 360 i - 1600 i^{1 + 1}}$

Étape 5.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 360 i + 360 i - 1600 i^{2}}$

Étape 5.3.2.9

Additionnez $- 360 i$ et $360 i$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 + 0 - 1600 i^{2}}$

Étape 5.3.2.10

Additionnez $81$ et $0$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 1600 i^{2}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 - 1600 \cdot - 1}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $- 1600$ par $- 1$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{81 + 1600}$

Étape 5.3.4

Additionnez $81$ et $1600$ .

$\frac{- 120 - 27 i}{1681}$

Étape 6

Divisez la fraction $\frac{- 120 - 27 i}{1681}$ en deux fractions.

$\frac{- 120}{1681} + \frac{- 27 i}{1681}$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{120}{1681} + \frac{- 27 i}{1681}$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{120}{1681} - \frac{27 i}{1681}$