Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{6} - 8}{x - \sqrt{2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{2})}^{3}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{3} - 8}{x - \sqrt{2}}$

Étape 1.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{3} - 2^{3}}{x - \sqrt{2}}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x^{2}$ et $b = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}{x - \sqrt{2}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}{x - \sqrt{2}}$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + x^{2} \cdot 2 + 2^{2})}{x - \sqrt{2}}$

Étape 1.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 \cdot x^{2} + 2^{2})}{x - \sqrt{2}}$

Étape 1.4.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4)}{x - \sqrt{2}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4)}{x - \sqrt{2}}$ par $\frac{x + \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4)}{x - \sqrt{2}} \cdot \frac{x + \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4)}{x - \sqrt{2}}$ par $\frac{x + \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{(x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2})}$

Étape 3.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} + x \sqrt{2} - \sqrt{2} x - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2^{1}}$

Étape 3.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 1 \cdot 2}$

Étape 3.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $x^{2} - 2$ .

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} - 2) (x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})}{x^{2} - 2}$

Étape 3.4.2

Divisez $(x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})$ par $1$ .

$(x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})$

Étape 4

Développez $(x^{4} + 2 x^{2} + 4) (x + \sqrt{2})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{4} x + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 5.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} x^{1} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Étape 5.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4 + 1} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Étape 5.1.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Étape 5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1

Déplacez $x$ .

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Étape 5.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Étape 5.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$

Étape 5.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{5} + x^{4} \sqrt{2} + 2 x^{3} + 2 x^{2} \sqrt{2} + 4 x + 4 \sqrt{2}$