Pré-calcul Exemples

$3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Étape 1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} - 2 x = 1$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} - 2 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} - 2 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{- 2 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} - \frac{2 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3

Pour créer un carré trinomial du côté gauche de l’équation, trouvez une valeur égale au carré de la moitié de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Étape 4

Ajoutez le terme de chaque côté de l’équation.

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Étape 5

Simplifiez l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Étape 5.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}} = \frac{1}{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Étape 5.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + 1 \frac{1^{2}}{3^{2}} = \frac{1}{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Étape 5.1.1.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}} = \frac{1}{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Étape 5.1.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Étape 5.1.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $\frac{1}{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Étape 5.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} + 1 \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Étape 5.2.1.1.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Étape 5.2.1.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}}$

Étape 5.2.1.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9}$

Étape 5.2.1.2

Pour écrire $\frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{9}$

Étape 5.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{9}$

Étape 5.2.1.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} + \frac{1}{9}$

Étape 5.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{3 + 1}{9}$

Étape 5.2.1.5

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$

Étape 6

Factorisez le carré trinomial parfait en ${(x - \frac{1}{3})}^{2}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{4}{9}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{1}{3} = \pm \sqrt{\frac{4}{9}}$

Étape 7.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{4}{9}}$ .

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Étape 7.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{4}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$ .

$x - \frac{1}{3} = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x - \frac{1}{3} = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{9}}$

Étape 7.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x - \frac{1}{3} = \pm \frac{2}{\sqrt{9}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x - \frac{1}{3} = \pm \frac{2}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 7.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x - \frac{1}{3} = \pm \frac{2}{3}$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 7.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.3.2.1

Ajoutez $\frac{1}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{2}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 7.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 + 1}{3}$

Étape 7.3.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x = \frac{3}{3}$

Étape 7.3.2.4

Divisez $3$ par $3$ .

$x = 1$

Étape 7.3.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x - \frac{1}{3} = - \frac{2}{3}$

Étape 7.3.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.3.4.1

Ajoutez $\frac{1}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = - \frac{2}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 7.3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 2 + 1}{3}$

Étape 7.3.4.3

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Étape 7.3.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 7.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - \frac{1}{3}$