Pré-calcul Exemples

${(x)}^{- \frac{2}{3}} + {(x)}^{- \frac{1}{3}} - 12 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{- \frac{2}{3}}$ comme ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2}$ .

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2} + x^{- \frac{1}{3}} - 12 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = x^{- \frac{1}{3}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{- \frac{1}{3}}$ par $u$ .

$u^{2} + u - 12 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} + u - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 3) (u + 4) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$(x^{- \frac{1}{3}} - 3) (x^{- \frac{1}{3}} + 4) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} - 3 = 0$

$x^{- \frac{1}{3}} + 4 = 0$

Étape 3

Définissez $x^{- \frac{1}{3}} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x^{- \frac{1}{3}} - 3$ égal à $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} - 3 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x^{- \frac{1}{3}} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{- \frac{1}{3}} = 3$

Étape 3.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $- 3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3} = 3^{- 3}$

Étape 3.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{1}{3} \cdot - 3} = 3^{- 3}$

Étape 3.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = 3^{- 3}$

Étape 3.2.3.1.1.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = 3^{- 3}$

Étape 3.2.3.1.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = 3^{- 3}$

Étape 3.2.3.1.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$x^{- 1 \cdot - 1} = 3^{- 3}$

Étape 3.2.3.1.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{1} = 3^{- 3}$

Étape 3.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 3^{- 3}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.2.1

Simplifiez $3^{- 3}$ .

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Étape 3.2.3.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{3^{3}}$

Étape 3.2.3.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$x = \frac{1}{27}$

Étape 4

Définissez $x^{- \frac{1}{3}} + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{- \frac{1}{3}} + 4$ égal à $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} + 4 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{- \frac{1}{3}} + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{- \frac{1}{3}} = - 4$

Étape 4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $- 3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3} = {(- 4)}^{- 3}$

Étape 4.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{1}{3} \cdot - 3} = {(- 4)}^{- 3}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = {(- 4)}^{- 3}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = {(- 4)}^{- 3}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = {(- 4)}^{- 3}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$x^{- 1 \cdot - 1} = {(- 4)}^{- 3}$

Étape 4.2.3.1.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{1} = {(- 4)}^{- 3}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- 4)}^{- 3}$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.2.1

Simplifiez ${(- 4)}^{- 3}$ .

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Étape 4.2.3.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{{(- 4)}^{3}}$

Étape 4.2.3.2.1.2

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$x = \frac{1}{- 64}$

Étape 4.2.3.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{64}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{- \frac{1}{3}} - 3) (x^{- \frac{1}{3}} + 4) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{27}, - \frac{1}{64}$

Étape 6