Pré-calcul Exemples

$2 x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + 9 x + 27 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Regroupez les termes.

$- x^{3} + 9 x + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{3} + 9 x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 9 x + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $- x$ à partir de $9 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 9 + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x^{2}) - x (- 9)$ .

$- x (x^{2} - 9) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Étape 1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- x (x^{2} - 3^{2}) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Étape 1.4

Factorisez.

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Étape 1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$- x ((x + 3) (x - 3)) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Étape 1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Étape 1.5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 {(x^{2})}^{2} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Étape 1.6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 21 u + 27 = 0$

Étape 1.7

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 27 = 54$ et dont la somme est $b = - 21$ .

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Étape 1.7.1.1

Factorisez $- 21$ à partir de $- 21 u$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 21 u + 27 = 0$

Étape 1.7.1.2

Réécrivez $- 21$ comme $- 3$ plus $- 18$

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} + (- 3 - 18) u + 27 = 0$

Étape 1.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 3 u - 18 u + 27 = 0$

Étape 1.7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 3 u - 18 u + 27 = 0$

Étape 1.7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- x (x + 3) (x - 3) + u (2 u - 3) - 9 (2 u - 3) = 0$

Étape 1.7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 3$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 u - 3) (u - 9) = 0$

Étape 1.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x^{2} - 9) = 0$

Étape 1.9

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 1.10

Factorisez.

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Étape 1.10.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 1.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 1.11

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3)$ .

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Étape 1.11.1

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $- x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 1.11.2

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $(2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (2 x^{2} - 3) = 0$

Étape 1.11.3

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (2 x^{2} - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x + 2 x^{2} - 3) = 0$

Étape 1.12

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x + 3) (x - 3) (- u + 2 u^{2} - 3) = 0$

Étape 1.13

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.13.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} - u - 3) = 0$

Étape 1.13.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 1.13.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} - (u) - 3) = 0$

Étape 1.13.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $2$ plus $- 3$

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + (2 - 3) u - 3) = 0$

Étape 1.13.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + 2 u - 3 u - 3) = 0$

Étape 1.13.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.13.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 3) (x - 3) ((2 u^{2} + 2 u) - 3 u - 3) = 0$

Étape 1.13.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 3) (x - 3) (2 u (u + 1) - 3 (u + 1)) = 0$

Étape 1.13.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u + 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((u + 1) (2 u - 3)) = 0$

Étape 1.14

Factorisez.

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Étape 1.14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x + 1) (2 x - 3)) = 0$

Étape 1.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 3) (x - 3) (x + 1) (2 x - 3) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Étape 3

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 6

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $2 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x - 3) (x + 1) (2 x - 3) = 0$ vraie.

$x = - 3, 3, - 1, \frac{3}{2}$

Étape 8