Pré-calcul Exemples

$f (x) = - \cos (2 x) + \cos^{2} (x)$

Étape 1

Définissez $- \cos (2 x) + \cos^{2} (x)$ égal à $0$ .

$- \cos (2 x) + \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $- (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.1.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.1.1.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 1 + 2 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.1.1.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$- 1 + \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.1.1.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.1.1.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.1.1.2.5

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ comme $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.1.3

Additionnez $- \sin^{2} (x)$ et $2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.3.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.3.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sin (x) = \pm 0$

Étape 2.3.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 2.3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 2.3.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.3.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 2.3.6

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 2.3.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.3.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.3.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.3.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.3.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.3.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.4

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3