Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54$

Étape 1

Définissez $x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54$ égal à $0$ .

$x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$- 2 x^{3} + 18 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x^{3} + 18 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} + 18 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $18 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 9 + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 9)$ .

$- 2 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez.

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Étape 2.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$- 2 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Étape 2.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Étape 2.1.5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Étape 2.1.6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 15 u + 54 = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $u^{2} - 15 u + 54$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $54$ et dont la somme est $- 15$ .

$- 9, - 6$

Étape 2.1.7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 6) = 0$

Étape 2.1.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 6) = 0$

Étape 2.1.9

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

Étape 2.1.10

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

Étape 2.1.11

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ .

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Étape 2.1.11.1

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $- 2 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 2 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

Étape 2.1.11.2

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $(x + 3) (x - 3) (- 2 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 2 x + x^{2} - 6) = 0$

Étape 2.1.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2 x - 6) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 x - 6 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} - 2 x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} - 2 x - 6$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 x - 6 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} - 2 x - 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = - 6$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Étape 2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.3

Additionnez $4$ et $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 2.5.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{7}$

Étape 2.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2 x - 6) = 0$ vraie.

$x = - 3, 3, 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - 3, 3, 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Forme décimale :

$x = - 3, 3, 3.64575131 \dots, - 1.64575131 \dots$

Étape 4