Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$

Étape 1

Définissez $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ égal à $0$ .

$x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Étape 2.1.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{6} + 4 {(- 1)}^{4} - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Étape 2.1.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$1 + 4 {(- 1)}^{4} - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Étape 2.1.1.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 + 4 \cdot 1 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Étape 2.1.1.3.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$1 + 4 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Étape 2.1.1.3.5

Additionnez $1$ et $4$ .

$5 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Étape 2.1.1.3.6

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$5 - 41 \cdot 1 + 36$

Étape 2.1.1.3.7

Multipliez $- 41$ par $1$ .

$5 - 41 + 36$

Étape 2.1.1.3.8

Soustrayez $41$ de $5$ .

$- 36 + 36$

Étape 2.1.1.3.9

Additionnez $- 36$ et $36$ .

$0$

Étape 2.1.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36}{x + 1}$

Étape 2.1.1.5

Divisez $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ par $x + 1$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

Étape 2.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{6}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

Étape 2.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

Étape 2.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{6} + x^{5}$

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

Étape 2.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

Étape 2.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

Étape 2.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{5}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

Étape 2.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

Étape 2.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{5} - x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

Étape 2.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

Étape 2.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

Étape 2.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

Étape 2.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

Étape 2.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x^{4} + 5 x^{3}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

Étape 2.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

Étape 2.1.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 5 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 5 x^{3} - 5 x^{2}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.21

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

Étape 2.1.1.5.22

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 36 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

Étape 2.1.1.5.23

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

Étape 2.1.1.5.24

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 36 x^{2} - 36 x$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

Étape 2.1.1.5.25

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

Étape 2.1.1.5.26

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

Étape 2.1.1.5.27

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $36 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

Étape 2.1.1.5.28

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

Étape 2.1.1.5.29

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $36 x + 36$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

Étape 2.1.1.5.30

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

$0$

Étape 2.1.1.5.31

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x + 36$

Étape 2.1.1.6

Écrivez $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 1) (x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x + 36) = 0$

Étape 2.1.2

Regroupez les termes.

$(x + 1) (x^{5} + 5 x^{3} - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} + 5 x^{3} - 36 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$(x + 1) (x \cdot x^{4} + 5 x^{3} - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Étape 2.1.3.2

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{3}$ .

$(x + 1) (x \cdot x^{4} + x (5 x^{2}) - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Étape 2.1.3.3

Factorisez $x$ à partir de $- 36 x$ .

$(x + 1) (x \cdot x^{4} + x (5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Étape 2.1.3.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (5 x^{2})$ .

$(x + 1) (x (x^{4} + 5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Étape 2.1.3.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} + 5 x^{2}) + x \cdot - 36$ .

$(x + 1) (x (x^{4} + 5 x^{2} - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Étape 2.1.4

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x + 1) (x ({(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Étape 2.1.5

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$(x + 1) (x (u^{2} + 5 u - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez $u^{2} + 5 u - 36$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 36$ et dont la somme est $5$ .

$- 4, 9$

Étape 2.1.6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 1) (x ((u - 4) (u + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Étape 2.1.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(x + 1) (x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Étape 2.1.8

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x + 1) (x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Étape 2.1.9

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.9.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x + 1) (x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Étape 2.1.9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Étape 2.1.10

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Étape 2.1.11

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} - 5 u + 36) = 0$

Étape 2.1.12

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.12.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 36 = - 36$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 2.1.12.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 u$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} - 5 u + 36) = 0$

Étape 2.1.12.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $4$ plus $- 9$

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + (4 - 9) u + 36) = 0$

Étape 2.1.12.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + 4 u - 9 u + 36) = 0$

Étape 2.1.12.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.12.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + 4 u - 9 u + 36) = 0$

Étape 2.1.12.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + u (- u + 4) + 9 (- u + 4)) = 0$

Étape 2.1.12.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u + 4$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- u + 4) (u + 9)) = 0$

Étape 2.1.13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- x^{2} + 4) (x^{2} + 9)) = 0$

Étape 2.1.14

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- x^{2} + 2^{2}) (x^{2} + 9)) = 0$

Étape 2.1.15

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $2^{2}$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2^{2} - x^{2}) (x^{2} + 9)) = 0$

Étape 2.1.16

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)) = 0$

Étape 2.1.17

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)$ .

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Étape 2.1.17.1

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)) = 0$

Étape 2.1.17.2

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $(2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (x^{2} + 9) ((2 + x) (2 - x))) = 0$

Étape 2.1.17.3

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $(x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (x^{2} + 9) ((2 + x) (2 - x))$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Étape 2.1.18

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x \cdot x + x \cdot 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Étape 2.1.19

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{2} + x \cdot 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Étape 2.1.20

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{2} + 2 x) (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Étape 2.1.21

Développez $(x^{2} + 2 x) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} (x - 2) + 2 x (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Étape 2.1.21.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Étape 2.1.21.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Étape 2.1.22

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.22.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.22.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.22.1.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.1.22.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Étape 2.1.22.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Étape 2.1.22.1.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Étape 2.1.22.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{2}$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Étape 2.1.22.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.22.1.3.1

Déplacez $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Étape 2.1.22.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Étape 2.1.22.1.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 4 x + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Étape 2.1.22.2

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} + 0 - 4 x + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Étape 2.1.22.3

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Étape 2.1.23

Développez $(2 + x) (2 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.23.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 (2 - x) + x (2 - x))) = 0$

Étape 2.1.23.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x))) = 0$

Étape 2.1.23.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))) = 0$

Étape 2.1.24

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.24.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.24.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))) = 0$

Étape 2.1.24.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x))) = 0$

Étape 2.1.24.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x + x (- x))) = 0$

Étape 2.1.24.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x)) = 0$

Étape 2.1.24.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.24.1.5.1

Déplacez $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x))) = 0$

Étape 2.1.24.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - x^{2})) = 0$

Étape 2.1.24.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 + 0 - x^{2})) = 0$

Étape 2.1.24.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - x^{2})) = 0$

Étape 2.1.25

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

Étape 2.1.26

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.26.1

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.26.1.1

Réécrivez $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ en forme factorisée.

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Étape 2.1.26.1.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.26.1.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{3} - x^{2}) - 4 x + 4)) = 0$

Étape 2.1.26.1.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1))) = 0$

Étape 2.1.26.1.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x^{2} - 4))) = 0$

Étape 2.1.26.1.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x^{2} - 2^{2}))) = 0$

Étape 2.1.26.1.1.4

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.26.1.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) ((x + 2) (x - 2)))) = 0$

Étape 2.1.26.1.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x + 2) (x - 2))) = 0$

Étape 2.1.26.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 2.1.26.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.4

Définissez $x^{2} + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2} + 9$ égal à $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 9$

Étape 2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Étape 2.4.2.3.1

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Étape 2.4.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (9)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Étape 2.4.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Étape 2.4.2.3.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Étape 2.4.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 3$

Étape 2.4.2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Étape 2.4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 i$

Étape 2.4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 i$

Étape 2.4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 i, - 3 i$

Étape 2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.6

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.7

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.7.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - 1, 3 i, - 3 i, 1, - 2, 2$

Étape 3