Pré-calcul Exemples

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 4 y - 12 = 0$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$x^{2} + {(0)}^{2} - 6 x - 4 \cdot 0 - 12 = 0$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Simplifiez $x^{2} + {(0)}^{2} - 6 x - 4 \cdot 0 - 12$ .

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} + 0 - 6 x - 4 \cdot 0 - 12 = 0$

Étape 1.2.1.1.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$x^{2} + 0 - 6 x + 0 - 12 = 0$

Étape 1.2.1.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 0 - 6 x + 0 - 12$ .

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Étape 1.2.1.2.1

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} - 6 x + 0 - 12 = 0$

Étape 1.2.1.2.2

Additionnez $x^{2} - 6 x$ et $0$ .

$x^{2} - 6 x - 12 = 0$

Étape 1.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 6$ et $c = - 12$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Étape 1.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.3

Additionnez $36$ et $48$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.4

Réécrivez $84$ comme $2^{2} \cdot 21$ .

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Étape 1.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $84$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{21}$

Étape 1.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Étape 1.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.3

Additionnez $36$ et $48$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.4

Réécrivez $84$ comme $2^{2} \cdot 21$ .

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Étape 1.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $84$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Étape 1.2.5.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{21}$

Étape 1.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 3 + \sqrt{21}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Étape 1.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.3

Additionnez $36$ et $48$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.4

Réécrivez $84$ comme $2^{2} \cdot 21$ .

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Étape 1.2.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $84$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{21}$

Étape 1.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 3 - \sqrt{21}$

Étape 1.2.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 3 + \sqrt{21}, 3 - \sqrt{21}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(3 + \sqrt{21}, 0), (3 - \sqrt{21}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

${(0)}^{2} + y^{2} - 6 \cdot 0 - 4 y - 12 = 0$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${(0)}^{2} + y^{2} - 6 \cdot 0 - 4 y - 12$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + y^{2} - 6 \cdot 0 - 4 y - 12 = 0$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$0 + y^{2} + 0 - 4 y - 12 = 0$

Étape 2.2.1.2

Associez les termes opposés dans $0 + y^{2} + 0 - 4 y - 12$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Additionnez $0$ et $y^{2}$ .

$y^{2} + 0 - 4 y - 12 = 0$

Étape 2.2.1.2.2

Additionnez $y^{2}$ et $0$ .

$y^{2} - 4 y - 12 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $y^{2} - 4 y - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 6, 2$

Étape 2.2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(y - 6) (y + 2) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 6 = 0$

$y + 2 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $y - 6$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $y - 6$ égal à $0$ .

$y - 6 = 0$

Étape 2.2.4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 6$

Étape 2.2.5

Définissez $y + 2$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $y + 2$ égal à $0$ .

$y + 2 = 0$

Étape 2.2.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 2$

Étape 2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y - 6) (y + 2) = 0$ vraie.

$y = 6, - 2$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 6), (0, - 2)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(3 + \sqrt{21}, 0), (3 - \sqrt{21}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 6), (0, - 2)$

Étape 4