Pré-calcul Exemples

$\ln (x) + \ln (x + 10) = 6$

Étape 1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$\ln (x) + \ln (x + 10) - 6 = 0$

Étape 2

Simplifiez $\ln (x) + \ln (x + 10) - 6$ .

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Étape 2.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 10)) - 6 = 0$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 10) - 6 = 0$

Étape 2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 10) - 6 = 0$

Étape 2.2.3

Déplacez $10$ à gauche de $x$ .

$\ln (x^{2} + 10 x) - 6 = 0$

Étape 3

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$\ln (x^{2} + 10 x) = 6$

Étape 4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{2} + 10 x)} = e^{6}$

Étape 5

Réécrivez $\ln (x^{2} + 10 x) = 6$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{6} = x^{2} + 10 x$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} + 10 x = e^{6}$ .

$x^{2} + 10 x = e^{6}$

Étape 6.2

Soustrayez $e^{6}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 10 x - e^{6} = 0$

Étape 6.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 10$ et $c = - e^{6}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{6}))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5

Simplifiez

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Étape 6.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 6.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 1 e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 e^{6}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.3

Réécrivez $100 + 4 e^{6}$ comme $2^{2} (25 + e^{6})$ .

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Étape 6.5.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 e^{6}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 e^{6}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (25) + 4 (e^{6})$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25 + e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{6}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{6}}}{2}$

Étape 6.5.3

Simplifiez $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{6}}}{2}$ .

$x = - 5 \pm \sqrt{25 + e^{6}}$

Étape 6.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 6.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 1 e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 e^{6}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.3

Réécrivez $100 + 4 e^{6}$ comme $2^{2} (25 + e^{6})$ .

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Étape 6.6.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 e^{6}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 e^{6}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (25) + 4 (e^{6})$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25 + e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{6}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{6}}}{2}$

Étape 6.6.3

Simplifiez $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{6}}}{2}$ .

$x = - 5 \pm \sqrt{25 + e^{6}}$

Étape 6.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{6}}$

Étape 6.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.7.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 6.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 1 e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 e^{6}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.3

Réécrivez $100 + 4 e^{6}$ comme $2^{2} (25 + e^{6})$ .

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Étape 6.7.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 e^{6}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 e^{6}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (25) + 4 (e^{6})$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25 + e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{6}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{6}}}{2}$

Étape 6.7.3

Simplifiez $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{6}}}{2}$ .

$x = - 5 \pm \sqrt{25 + e^{6}}$

Étape 6.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 5 - \sqrt{25 + e^{6}}$

Étape 6.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{6}}, - 5 - \sqrt{25 + e^{6}}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{6}}, - 5 - \sqrt{25 + e^{6}}$

Forme décimale :

$x = 15.69852152 \dots, - 25.69852152 \dots$