Pré-calcul Exemples

$\ln (x + 1) - \ln (x) = 2$

Étape 1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\ln (x + 1) - \ln (x) - 2 = 0$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 1}{x}) - 2 = 0$

Étape 3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\ln (\frac{x + 1}{x}) = 2$

Étape 4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{x + 1}{x})} = e^{2}$

Étape 5

Réécrivez $\ln (\frac{x + 1}{x}) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2} = \frac{x + 1}{x}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x + 1}{x} = e^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x} = e^{2}$

Étape 6.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1$

Étape 6.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 6.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{x + 1}{x} = e^{2}$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x + 1}{x} = e^{2}$ par $x$ .

$\frac{x + 1}{x} x = e^{2} x$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 1}{x} x = e^{2} x$

Étape 6.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$x + 1 = e^{2} x$

Étape 6.4

Résolvez l’équation.

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Étape 6.4.1

Soustrayez $e^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$x + 1 - e^{2} x = 0$

Étape 6.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x - e^{2} x = - 1$

Étape 6.4.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.4.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x - e^{2} x$ .

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Étape 6.4.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x - e^{2} x = - 1$

Étape 6.4.3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e^{2} x = - 1$

Étape 6.4.3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- e^{2} x$ .

$x \cdot 1 + x (- e^{2}) = - 1$

Étape 6.4.3.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- e^{2})$ .

$x (1 - e^{2}) = - 1$

Étape 6.4.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x (1^{2} - e^{2}) = - 1$

Étape 6.4.3.3

Factorisez.

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Étape 6.4.3.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e)) = - 1$

Étape 6.4.3.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (1 + e) (1 - e) = - 1$

Étape 6.4.4

Divisez chaque terme dans $x (1 + e) (1 - e) = - 1$ par $1 - e^{2}$ et simplifiez.

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Étape 6.4.4.1

Divisez chaque terme dans $x (1 + e) (1 - e) = - 1$ par $1 - e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1 - e^{2}} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Étape 6.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.4.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.4.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1^{2} - e^{2}} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Étape 6.4.4.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = e$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Étape 6.4.4.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + e$ .

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Étape 6.4.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Étape 6.4.4.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Étape 6.4.4.2.2.2

Annulez le facteur commun de $1 - e$ .

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Étape 6.4.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Étape 6.4.4.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Étape 6.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.4.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.4.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \frac{- 1}{1^{2} - e^{2}}$

Étape 6.4.4.3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = e$ .

$x = \frac{- 1}{(1 + e) (1 - e)}$

Étape 6.4.4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{(1 + e) (1 - e)}$