Pré-calcul Exemples

$\cos (2 x) + \cos (4 x) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (4 x) = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (2 (2 x)) = 0$

Étape 1.1.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 {(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2} - 1 = 0$

Étape 1.1.3.2

Réécrivez ${(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2}$ comme $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 ((2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

Étape 1.1.3.3

Développez $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1) - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

Étape 1.1.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

Étape 1.1.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Étape 1.1.3.4.1.2

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.4.1.2.1

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x))) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Étape 1.1.3.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 {\cos (x)}^{2 + 2}) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Étape 1.1.3.4.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 \cos^{4} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Étape 1.1.3.4.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Étape 1.1.3.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Étape 1.1.3.4.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Étape 1.1.3.4.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1) - 1 = 0$

Étape 1.1.3.4.2

Soustrayez $2 \cos^{2} (x)$ de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) - 1 = 0$

Étape 1.1.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.6.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

Étape 1.1.3.6.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

Étape 1.1.3.6.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 - 1 = 0$

Étape 1.1.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Étape 1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Associez les termes opposés dans $2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$2 \cos^{2} (x) + 0 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 1.2.1.2

Additionnez $2 \cos^{2} (x)$ et $0$ .

$2 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $8 \cos^{2} (x)$ de $2 \cos^{2} (x)$ .

$- 6 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) = 0$

Étape 2

Factorisez $2 \cos^{2} (x)$ à partir de $- 6 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $2 \cos^{2} (x)$ à partir de $- 6 \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 8 \cos^{4} (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $2 \cos^{2} (x)$ à partir de $8 \cos^{4} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 2 \cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 2.3

Factorisez $2 \cos^{2} (x)$ à partir de $2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 2 \cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x))$ .

$2 \cos^{2} (x) (- 3 + 4 \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

$- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 4

Définissez $\cos^{2} (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $\cos^{2} (x)$ égal à $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\cos^{2} (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (x) = \pm 0$

Étape 4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 4.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 4.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.6.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 4.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 4.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 4.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $- 3 + 4 \cos^{2} (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $- 3 + 4 \cos^{2} (x)$ égal à $0$ .

$- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$4 \cos^{2} (x) = 3$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $4 \cos^{2} (x) = 3$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 \cos^{2} (x) = 3$ par $4$ .

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Étape 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 5.2.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5.2.6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5.2.7

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 5.2.7.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 5.2.7.3

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Étape 5.2.7.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 5.2.7.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 5.2.7.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 5.2.7.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.4.3.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Étape 5.2.7.4.3.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 5.2.7.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.7.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.8

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 5.2.8.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 5.2.8.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Étape 5.2.8.4

Simplifiez $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 5.2.8.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 5.2.8.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Étape 5.2.8.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.4.3.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Étape 5.2.8.4.3.2

Soustrayez $5 π$ de $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 5.2.8.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.8.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.8.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.9

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.10

Consolidez les solutions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.10.1

Consolidez $\frac{π}{6} + 2 π n$ et $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.10.2

Consolidez $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ et $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ en $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 \cos^{2} (x) (- 3 + 4 \cos^{2} (x)) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez les réponses.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Consolidez $\frac{π}{2} + 2 π n$ et $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7.2

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$