Pré-calcul Exemples

$\tan^{2} (3 x) = \sqrt{1}$

Étape 1

Soustrayez $\sqrt{1}$ des deux côtés de l’équation.

$\tan^{2} (3 x) - \sqrt{1} = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\tan^{2} (3 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\tan^{2} (3 x) - 1 = 0$

Étape 3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\tan^{2} (3 x) - 1^{2} = 0$

Étape 4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \tan (3 x)$ et $b = 1$ .

$(\tan (3 x) + 1) (\tan (3 x) - 1) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (3 x) + 1 = 0$

$\tan (3 x) - 1 = 0$

Étape 6

Définissez $\tan (3 x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\tan (3 x) + 1$ égal à $0$ .

$\tan (3 x) + 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\tan (3 x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (3 x) = - 1$

Étape 6.2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$3 x = \arctan (- 1)$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$3 x = - \frac{π}{4}$

Étape 6.2.4

Divisez chaque terme dans $3 x = - \frac{π}{4}$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - \frac{π}{4}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Étape 6.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Étape 6.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Étape 6.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 6.2.4.3.2

Multipliez $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 6.2.4.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 4}$

Étape 6.2.4.3.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Étape 6.2.5

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$3 x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 6.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.2.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$3 x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 6.2.6.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$3 x = \frac{3 π}{4}$

Étape 6.2.6.3

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{3 π}{4}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.2.6.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{3 π}{4}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Étape 6.2.6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Étape 6.2.6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Étape 6.2.6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.6.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 6.2.6.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.6.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 6.2.6.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 6.2.6.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{4}$

Étape 6.2.7

Déterminez la période de $\tan (3 x)$ .

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Étape 6.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 6.2.7.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 3 |}$

Étape 6.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{π}{3}$

Étape 6.2.8

Ajoutez $\frac{π}{3}$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 6.2.8.1

Ajoutez $\frac{π}{3}$ à $- \frac{π}{12}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{12} + \frac{π}{3}$

Étape 6.2.8.2

Pour écrire $\frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{12}$

Étape 6.2.8.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.8.3.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{12}$

Étape 6.2.8.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{12}$

Étape 6.2.8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{12}$

Étape 6.2.8.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.8.5.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{12}$

Étape 6.2.8.5.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{12}$

Étape 6.2.8.6

Annulez le facteur commun à $3$ et $12$ .

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Étape 6.2.8.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$\frac{3 (π)}{12}$

Étape 6.2.8.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.8.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 π}{3 \cdot 4}$

Étape 6.2.8.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 π}{3 \cdot 4}$

Étape 6.2.8.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{4}$

Étape 6.2.8.7

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{π}{4}$

Étape 6.2.9

La période de la fonction $\tan (3 x)$ est $\frac{π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{3}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Définissez $\tan (3 x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $\tan (3 x) - 1$ égal à $0$ .

$\tan (3 x) - 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $\tan (3 x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\tan (3 x) = 1$

Étape 7.2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$3 x = \arctan (1)$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$3 x = \frac{π}{4}$

Étape 7.2.4

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{π}{4}$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{π}{4}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Étape 7.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Étape 7.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Étape 7.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 7.2.4.3.2

Multipliez $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 7.2.4.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 3}$

Étape 7.2.4.3.2.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$x = \frac{π}{12}$

Étape 7.2.5

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$3 x = π + \frac{π}{4}$

Étape 7.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.6.1

Simplifiez

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Étape 7.2.6.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$3 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 7.2.6.1.2

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 7.2.6.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 7.2.6.1.4

Additionnez $π \cdot 4$ et $π$ .

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Étape 7.2.6.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $4$ .

$3 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 7.2.6.1.4.2

Additionnez $4 \cdot π$ et $π$ .

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Étape 7.2.6.2

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.6.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Étape 7.2.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Étape 7.2.6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Étape 7.2.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.6.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 7.2.6.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.6.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{4}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

Étape 7.2.6.2.3.2.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Étape 7.2.7

Déterminez la période de $\tan (3 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 7.2.7.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 3 |}$

Étape 7.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{π}{3}$

Étape 7.2.8

La période de la fonction $\tan (3 x)$ est $\frac{π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{3}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\tan (3 x) + 1) (\tan (3 x) - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{6}$ , pour tout entier $n$