Pré-calcul Exemples

$\log_{5} (x + 4) + \log_{5} (x - 4) = 2$

Étape 1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\log_{5} (x + 4) + \log_{5} (x - 4) - 2 = 0$

Étape 2

Simplifiez $\log_{5} (x + 4) + \log_{5} (x - 4) - 2$ .

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Étape 2.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x + 4) (x - 4)) - 2 = 0$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Développez $(x + 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{5} (x (x - 4) + 4 (x - 4)) - 2 = 0$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)) - 2 = 0$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Étape 2.2.2

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

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Étape 2.2.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 4$ et $4 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Étape 2.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$\log_{5} (x^{2} - 16) - 2 = 0$

Étape 3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\log_{5} (x^{2} - 16) = 2$

Étape 4

Réécrivez $\log_{5} (x^{2} - 16) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$5^{2} = x^{2} - 16$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} - 16 = 5^{2}$ .

$x^{2} - 16 = 5^{2}$

Étape 5.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - 16 = 25$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 25 + 16$

Étape 5.3.2

Additionnez $25$ et $16$ .

$x^{2} = 41$

Étape 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{41}$

Étape 5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{41}$

Étape 5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{41}$

Étape 5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{41}, - \sqrt{41}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \sqrt{41}, - \sqrt{41}$

Forme décimale :

$x = 6.40312423 \dots, - 6.40312423 \dots$