Pré-calcul Exemples

$e^{x} - 6 e^{- x} - 1 = 0$

Étape 1

Réécrivez $e^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$e^{x} - 6 {(e^{x})}^{- 1} - 1 = 0$

Étape 2

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$u - 6 u^{- 1} - 1 = 0$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - 6 \frac{1}{u} - 1 = 0$

Étape 3.2

Associez $- 6$ et $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{- 6}{u} - 1 = 0$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$u - \frac{6}{u} - 1 = 0$

Étape 4

Résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1, 1$

Étape 4.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 4.2

Multiplier chaque terme dans $u - \frac{6}{u} - 1 = 0$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.2.1

Multipliez chaque terme dans $u - \frac{6}{u} - 1 = 0$ par $u$ .

$u \cdot u - \frac{6}{u} u - u = 0 u$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$u^{2} - \frac{6}{u} u - u = 0 u$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{6}{u}$ dans le numérateur.

$u^{2} + \frac{- 6}{u} u - u = 0 u$

Étape 4.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$u^{2} + \frac{- 6}{u} u - u = 0 u$

Étape 4.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$u^{2} - 6 - u = 0 u$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $0$ par $u$ .

$u^{2} - 6 - u = 0$

Étape 4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 4.3.1

Factorisez $u^{2} - 6 - u$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 4.3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 3) (u + 2) = 0$

Étape 4.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 2 = 0$

Étape 4.3.3

Définissez $u - 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.3.3.1

Définissez $u - 3$ égal à $0$ .

$u - 3 = 0$

Étape 4.3.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 3$

Étape 4.3.4

Définissez $u + 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.3.4.1

Définissez $u + 2$ égal à $0$ .

$u + 2 = 0$

Étape 4.3.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 2$

Étape 4.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 3) (u + 2) = 0$ vraie.

$u = 3, - 2$

Étape 5

Remplacez $u$ par $3$ dans $u = e^{x}$ .

$3 = e^{x}$

Étape 6

Résolvez $3 = e^{x}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 3$ .

$e^{x} = 3$

Étape 6.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Étape 6.3

Développez le côté gauche.

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Étape 6.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Étape 6.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Étape 6.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (3)$

Étape 7

Remplacez $u$ par $- 2$ dans $u = e^{x}$ .

$- 2 = e^{x}$

Étape 8

Résolvez $- 2 = e^{x}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = - 2$ .

$e^{x} = - 2$

Étape 8.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 2)$

Étape 8.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 2)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 8.4

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = - 2$

Aucune solution

Étape 9

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (3)$

Étape 10