Pré-calcul Exemples

$6 + 6 \sin (x) = 4 \cos^{2} (x)$

Étape 1

Soustrayez $4 \cos^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$6 + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2

Factorisez $2$ à partir de $6 + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $2$ à partir de $6 \sin (x)$ .

$2 (3) + 2 (3 \sin (x)) - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.3

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \cos^{2} (x)$ .

$2 (3) + 2 (3 \sin (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 2.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (3) + 2 (3 \sin (x))$ .

$2 (3 + 3 \sin (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 2.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 + 3 \sin (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))$ .

$2 (3 + 3 \sin (x) - 2 \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 3

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{2 (3 + 3 \sin (x) - 2 \cos^{2} (x))}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 4

Remplacez $\cos (x)$ par une expression équivalente dans le numérateur.

$2 (3 + 3 \sin (x) - 2 \cos^{2} (x)) \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5

Supprimez les parenthèses.

$2 (3 + 3 \sin (x) - 2 \cos^{2} (x)) \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6

Appliquez la propriété distributive.

$(2 \cdot 3 + 2 (3 \sin (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))) \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$(6 + 2 (3 \sin (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))) \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$(6 + 6 \sin (x) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))) \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$(6 + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 8

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(6 + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 9

Appliquez la propriété distributive.

$6 (\frac{1}{\cos (x)}) + 6 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) - 4 \cos^{2} (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $6$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{6}{\cos (x)} + 6 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) - 4 \cos^{2} (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 10.2

Multipliez $6 \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Étape 10.2.1

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $6$ .

$\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6}{\cos (x)} \cdot \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 10.2.2

Associez $\frac{6}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos^{2} (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- 4 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- 4 \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- 4 \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 10.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1

Séparez les fractions.

$\frac{6}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 11.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{6}{1} \cdot \sec (x) + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 11.3

Divisez $6$ par $1$ .

$6 \sec (x) + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 11.4

Séparez les fractions.

$6 \sec (x) + \frac{6}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 11.5

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$6 \sec (x) + \frac{6}{1} \cdot \tan (x) - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 11.6

Divisez $6$ par $1$ .

$6 \sec (x) + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 12

Séparez les fractions.

$6 \sec (x) + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 13

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$6 \sec (x) + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 14

Divisez $0$ par $1$ .

$6 \sec (x) + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = 0 \sec (x)$

Étape 15

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$6 \sec (x) + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = 0$

Étape 16

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$6 \frac{1}{\cos (x)} + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = 0$

Étape 16.1.2

Associez $6$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{6}{\cos (x)} + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = 0$

Étape 16.1.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{6}{\cos (x)} + 6 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = 0$

Étape 16.1.4

Associez $6$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = 0$

Étape 17

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 18

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \frac{6}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- 4 \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 19

Simplifiez

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Étape 19.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 19.1.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \frac{6}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- 4 \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 19.1.2

Réécrivez l’expression.

$6 + \cos (x) \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- 4 \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 19.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 19.2.1

Annulez le facteur commun.

$6 + \cos (x) \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- 4 \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 19.2.2

Réécrivez l’expression.

$6 + 6 \sin (x) + \cos (x) (- 4 \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 19.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 + 6 \sin (x) - 4 \cos (x) \cos (x) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 20

Multipliez $- 4 \cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 20.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$6 + 6 \sin (x) - 4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 20.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$6 + 6 \sin (x) - 4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 20.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 + 6 \sin (x) - 4 {\cos (x)}^{1 + 1} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 20.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 21

Multipliez $\cos (x)$ par $0$ .

$6 + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 22

Remplacez le $- 4 \cos^{2} (x)$ par $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$6 + 6 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 23

Simplifiez chaque terme.

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Étape 23.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 + 6 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 23.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$6 + 6 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 23.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$6 + 6 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 24

Soustrayez $4$ de $6$ .

$6 \sin (x) + 2 + 4 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 25

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$4 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) + 2 = 0$

Étape 26

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$4 {(u)}^{2} + 6 (u) + 2 = 0$

Étape 27

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 27.1

Factorisez $2$ à partir de $4 u^{2} + 6 u + 2$ .

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Étape 27.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) + 6 u + 2 = 0$

Étape 27.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6 u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) + 2 = 0$

Étape 27.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) + 2 (1) = 0$

Étape 27.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 u^{2}) + 2 (3 u)$ .

$2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (1) = 0$

Étape 27.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (1)$ .

$2 (2 u^{2} + 3 u + 1) = 0$

Étape 27.2

Factorisez.

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Étape 27.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 27.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 27.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 u$ .

$2 (2 u^{2} + 3 u + 1) = 0$

Étape 27.2.1.1.2

Réécrivez $3$ comme $1$ plus $2$

$2 (2 u^{2} + (1 + 2) u + 1) = 0$

Étape 27.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 u^{2} + 1 u + 2 u + 1) = 0$

Étape 27.2.1.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$2 (2 u^{2} + u + 2 u + 1) = 0$

Étape 27.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 27.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 (2 u^{2} + u + 2 u + 1) = 0$

Étape 27.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 (u (2 u + 1) + 1 (2 u + 1)) = 0$

Étape 27.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + 1$ .

$2 ((2 u + 1) (u + 1)) = 0$

Étape 27.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (2 u + 1) (u + 1) = 0$

Étape 28

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 29

Définissez $2 u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 29.1

Définissez $2 u + 1$ égal à $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Étape 29.2

Résolvez $2 u + 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 29.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 u = - 1$

Étape 29.2.2

Divisez chaque terme dans $2 u = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 29.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 u = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 29.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 29.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 29.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 29.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Étape 29.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 29.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{1}{2}$

Étape 30

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 30.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 30.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 31

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (2 u + 1) (u + 1) = 0$ vraie.

$u = - \frac{1}{2}, - 1$

Étape 32

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}, - 1$

Étape 33

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Étape 34

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 34.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 34.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 34.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 34.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 34.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 34.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 34.4.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 34.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 34.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 34.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 34.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 34.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 34.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 34.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Étape 34.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 34.6.3

Associez les fractions.

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Étape 34.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 34.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 34.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 34.6.4.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Étape 34.6.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Étape 34.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 34.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 35

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - 1$ .

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Étape 35.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 35.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 35.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 35.3

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 35.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 35.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 35.4.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 35.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 35.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 35.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 35.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 35.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 35.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 35.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 35.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 35.6.3

Associez les fractions.

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Étape 35.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 35.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 35.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 35.6.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 35.6.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 35.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 35.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 36

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 37

Consolidez $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ et $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ .

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$