Pré-calcul Exemples

$3 z^{\frac{14}{5}} - 19 z^{\frac{9}{5}} + 28 z^{\frac{4}{5}} = 0$

Étape 1

Factorisez $z^{\frac{4}{5}}$ à partir de $3 z^{\frac{14}{5}} - 19 z^{\frac{9}{5}} + 28 z^{\frac{4}{5}}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $z^{\frac{4}{5}}$ à partir de $3 z^{\frac{14}{5}}$ .

$z^{\frac{4}{5}} (3 z^{\frac{10}{5}}) - 19 z^{\frac{9}{5}} + 28 z^{\frac{4}{5}} = 0$

Étape 1.2

Factorisez $z^{\frac{4}{5}}$ à partir de $- 19 z^{\frac{9}{5}}$ .

$z^{\frac{4}{5}} (3 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{4}{5}} (- 19 z^{\frac{5}{5}}) + 28 z^{\frac{4}{5}} = 0$

Étape 1.3

Factorisez $z^{\frac{4}{5}}$ à partir de $28 z^{\frac{4}{5}}$ .

$z^{\frac{4}{5}} (3 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{4}{5}} (- 19 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{4}{5}} \cdot 28 = 0$

Étape 1.4

Factorisez $z^{\frac{4}{5}}$ à partir de $z^{\frac{4}{5}} (3 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{4}{5}} (- 19 z^{\frac{5}{5}})$ .

$z^{\frac{4}{5}} (3 z^{\frac{10}{5}} - 19 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{4}{5}} \cdot 28 = 0$

Étape 1.5

Factorisez $z^{\frac{4}{5}}$ à partir de $z^{\frac{4}{5}} (3 z^{\frac{10}{5}} - 19 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{4}{5}} \cdot 28$ .

$z^{\frac{4}{5}} (3 z^{\frac{10}{5}} - 19 z^{\frac{5}{5}} + 28) = 0$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 28 = 84$ et dont la somme est $b = - 19$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $- 19$ à partir de $- 19 z^{\frac{5}{5}}$ .

$z^{\frac{4}{5}} (3 z^{\frac{10}{5}} - 19 z^{\frac{5}{5}} + 28) = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 19$ comme $- 7$ plus $- 12$

$z^{\frac{4}{5}} (3 z^{\frac{10}{5}} + (- 7 - 12) z^{\frac{5}{5}} + 28) = 0$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$z^{\frac{4}{5}} (3 z^{\frac{10}{5}} - 7 z^{\frac{5}{5}} - 12 z^{\frac{5}{5}} + 28) = 0$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$z^{\frac{4}{5}} ((3 z^{\frac{10}{5}} - 7 z^{\frac{5}{5}}) - 12 z^{\frac{5}{5}} + 28) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$z^{\frac{4}{5}} (z^{\frac{5}{5}} (3 z^{\frac{5}{5}} - 7) - 4 (3 z^{\frac{5}{5}} - 7)) = 0$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 z^{\frac{5}{5}} - 7$ .

$z^{\frac{4}{5}} ((3 z^{\frac{5}{5}} - 7) (z^{\frac{5}{5}} - 4)) = 0$

Étape 3

Divisez $5$ par $5$ .

$z^{\frac{4}{5}} ((3 z - 7) (z^{\frac{5}{5}} - 4)) = 0$

Étape 4

Divisez $5$ par $5$ .

$z^{\frac{4}{5}} ((3 z - 7) (z - 4)) = 0$

Étape 5

Supprimez les parenthèses inutiles.

$z^{\frac{4}{5}} (3 z - 7) (z - 4) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$z^{\frac{4}{5}} = 0$

$3 z - 7 = 0$

$z - 4 = 0$

Étape 7

Définissez $z^{\frac{4}{5}}$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 7.1

Définissez $z^{\frac{4}{5}}$ égal à $0$ .

$z^{\frac{4}{5}} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $z^{\frac{4}{5}} = 0$ pour $z$ .

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Étape 7.2.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{5}{4}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(z^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1.1

Simplifiez ${(z^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}}$ .

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Étape 7.2.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(z^{\frac{4}{5}})}^{\frac{5}{4}}$ .

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Étape 7.2.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Étape 7.2.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$z^{\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Étape 7.2.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Étape 7.2.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.2.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Étape 7.2.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$z^{1} = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Étape 7.2.2.1.1.2

Simplifiez

$z = \pm 0^{\frac{5}{4}}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.2.1

Simplifiez $\pm 0^{\frac{5}{4}}$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.2.2.1.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$z = \pm {(0^{4})}^{\frac{5}{4}}$

Étape 7.2.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm 0^{4 (\frac{5}{4})}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$z = \pm 0^{4 (\frac{5}{4})}$

Étape 7.2.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$z = \pm 0^{5}$

Étape 7.2.2.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$z = \pm 0$

Étape 7.2.2.2.1.4

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$z = 0$

Étape 8

Définissez $3 z - 7$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 8.1

Définissez $3 z - 7$ égal à $0$ .

$3 z - 7 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $3 z - 7 = 0$ pour $z$ .

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Étape 8.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$3 z = 7$

Étape 8.2.2

Divisez chaque terme dans $3 z = 7$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 z = 7$ par $3$ .

$\frac{3 z}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 z}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 8.2.2.2.1.2

Divisez $z$ par $1$ .

$z = \frac{7}{3}$

Étape 9

Définissez $z - 4$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 9.1

Définissez $z - 4$ égal à $0$ .

$z - 4 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$z = 4$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $z^{\frac{4}{5}} (3 z - 7) (z - 4) = 0$ vraie.

$z = 0, \frac{7}{3}, 4$