Pré-calcul Exemples

$2 y^{2} - y - \frac{1}{2} = 0$

Étape 1

Pour écrire $2 y^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- y + 2 y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Étape 2

Associez $2 y^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$- y + \frac{2 y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- y + \frac{2 y^{2} \cdot 2 - 1}{2} = 0$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- y + \frac{4 y^{2} - 1}{2} = 0$

Étape 4.2

Réécrivez $4 y^{2}$ comme ${(2 y)}^{2}$ .

$- y + \frac{{(2 y)}^{2} - 1}{2} = 0$

Étape 4.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- y + \frac{{(2 y)}^{2} - 1^{2}}{2} = 0$

Étape 4.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 y$ et $b = 1$ .

$- y + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Étape 5

Pour écrire $- y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- y \cdot \frac{2}{2} + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Étape 6

Associez $- y$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- y \cdot 2}{2} + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- y \cdot 2 + (2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 y + (2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Étape 8.2

Développez $(2 y + 1) (2 y - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{2} = 0$

Étape 8.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{2} = 0$

Étape 8.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Étape 8.3

Associez les termes opposés dans $2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 y \cdot - 1$ et $1 (2 y)$ .

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) - 1 \cdot (2 y) + 1 \cdot (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Étape 8.3.2

Additionnez $- 1 \cdot 2 y$ et $1 \cdot 2 y$ .

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 0 + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Étape 8.3.3

Additionnez $2 y (2 y)$ et $0$ .

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Étape 8.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 y \cdot y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Étape 8.4.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Étape 8.4.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Étape 8.4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 2 y + 4 y^{2} + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Étape 8.4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 2 y + 4 y^{2} - 1}{2} = 0$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 y^{2} - 2 y - 1}{2} = 0$

Étape 9

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 y^{2} - 2 y - 1 = 0$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 10.2

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 2$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.3.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.3.1.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.3.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Étape 10.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Étape 10.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.4.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.4.1.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.4.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Étape 10.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Étape 10.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Étape 10.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.5.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.5.1.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.5.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Étape 10.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Étape 10.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Étape 10.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Étape 10.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Forme décimale :

$y = 0.80901699 \dots, - 0.30901699 \dots$