Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{3} - 3 x + 1}{x^{3} - 5 x + 7}$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = \frac{2 x^{3} - 3 x + 1}{x^{3} - 5 x + 7}$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x^{3} - 3 x + 1 = 0$

Étape 1.2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $2 x^{3} - 3 x + 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 1.2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5$

Étape 1.2.2.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.2.2.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$2 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1 + 1$

Étape 1.2.2.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 1$

Étape 1.2.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - 3 \cdot 1 + 1$

Étape 1.2.2.1.3.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$2 - 3 + 1$

Étape 1.2.2.1.3.5

Soustrayez $3$ de $2$ .

$- 1 + 1$

Étape 1.2.2.1.3.6

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0$

Étape 1.2.2.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 3 x + 1}{x - 1}$

Étape 1.2.2.1.5

Divisez $2 x^{3} - 3 x + 1$ par $x - 1$ .

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Étape 1.2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$1$

Étape 1.2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$

Étape 1.2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 1.2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 1.2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Étape 1.2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 1.2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 1.2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 1.2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} - 2 x$

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 1.2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$

Étape 1.2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$

Étape 1.2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$

Étape 1.2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							-	$x$	+	$1$

Étape 1.2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x + 1$

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$

Étape 1.2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$
										$0$

Étape 1.2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} + 2 x - 1$

Étape 1.2.2.1.6

Écrivez $2 x^{3} - 3 x + 1$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) (2 x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Étape 1.2.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Étape 1.2.2.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.2.4

Définissez $2 x^{2} + 2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.4.1

Définissez $2 x^{2} + 2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Étape 1.2.2.4.2

Résolvez $2 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.2.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.2.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 2$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.2.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.2.4.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 1.2.2.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.3.1.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.3.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.2.4.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.2.4.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.2.4.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.2.4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.2.4.2.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 1.2.2.4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.4.1.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.4.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.2.4.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.2.4.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.2.4.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.2.4.2.4.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.2.4.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.2.2.4.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.2.2.4.2.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.2.4.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.2.4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.2.4.2.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 1.2.2.4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.5.1.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.5.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.2.4.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.2.2.4.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.2.4.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.2.4.2.5.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.2.4.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{3})}{2}$

Étape 1.2.2.4.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (\sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.2.2.4.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.2.4.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (2 x^{2} + 2 x - 1) = 0$ vraie.

$x = 1, - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(1, 0), (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, 0), (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = \frac{2 {(0)}^{3} - 3 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0 + 1}{0^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2 {(0)}^{3} - 3 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Étape 2.2.4

Simplifiez $\frac{2 {(0)}^{3} - 3 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$ .

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = \frac{2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1}{0^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = \frac{0 - 3 \cdot 0 + 1}{0^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Étape 2.2.4.1.3

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 1}{0^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Étape 2.2.4.1.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = \frac{0 + 1}{0^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Étape 2.2.4.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$y = \frac{1}{0^{3} - 5 \cdot 0 + 7}$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.4.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = \frac{1}{0 - 5 \cdot 0 + 7}$

Étape 2.2.4.2.2

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$y = \frac{1}{0 + 0 + 7}$

Étape 2.2.4.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = \frac{1}{0 + 7}$

Étape 2.2.4.2.4

Additionnez $0$ et $7$ .

$y = \frac{1}{7}$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, \frac{1}{7})$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(1, 0), (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, 0), (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, \frac{1}{7})$

Étape 4