Pré-calcul Exemples

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 16 x + 24 y + 16 = 0$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$4 x^{2} + 4 {(0)}^{2} - 16 x + 24 (0) + 16 = 0$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Simplifiez $4 x^{2} + 4 {(0)}^{2} - 16 x + 24 (0) + 16$ .

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 x^{2} + 4 \cdot 0 - 16 x + 24 (0) + 16 = 0$

Étape 1.2.1.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$4 x^{2} + 0 - 16 x + 24 (0) + 16 = 0$

Étape 1.2.1.1.3

Multipliez $24$ par $0$ .

$4 x^{2} + 0 - 16 x + 0 + 16 = 0$

Étape 1.2.1.2

Associez les termes opposés dans $4 x^{2} + 0 - 16 x + 0 + 16$ .

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Étape 1.2.1.2.1

Additionnez $4 x^{2}$ et $0$ .

$4 x^{2} - 16 x + 0 + 16 = 0$

Étape 1.2.1.2.2

Additionnez $4 x^{2} - 16 x$ et $0$ .

$4 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 16 x + 16$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 16 x + 16 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 16 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4 = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 (- 4 x)$ .

$4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4 = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4$ .

$4 (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 1.2.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$4 {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $4 {(x - 2)}^{2} = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 {(x - 2)}^{2} = 0$ par $4$ .

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez ${(x - 2)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{4}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 1.2.4

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.5

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(2, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$4 {(0)}^{2} + 4 y^{2} - 16 \cdot 0 + 24 y + 16 = 0$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $4 {(0)}^{2} + 4 y^{2} - 16 \cdot 0 + 24 y + 16$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 \cdot 0 + 4 y^{2} - 16 \cdot 0 + 24 y + 16 = 0$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 + 4 y^{2} - 16 \cdot 0 + 24 y + 16 = 0$

Étape 2.2.1.1.3

Multipliez $- 16$ par $0$ .

$0 + 4 y^{2} + 0 + 24 y + 16 = 0$

Étape 2.2.1.2

Associez les termes opposés dans $0 + 4 y^{2} + 0 + 24 y + 16$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Additionnez $0$ et $4 y^{2}$ .

$4 y^{2} + 0 + 24 y + 16 = 0$

Étape 2.2.1.2.2

Additionnez $4 y^{2}$ et $0$ .

$4 y^{2} + 24 y + 16 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{2} + 24 y + 16$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{2}$ .

$4 (y^{2}) + 24 y + 16 = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez $4$ à partir de $24 y$ .

$4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 16 = 0$

Étape 2.2.2.3

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$4 y^{2} + 4 (6 y) + 4 \cdot 4 = 0$

Étape 2.2.2.4

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{2} + 4 (6 y)$ .

$4 (y^{2} + 6 y) + 4 \cdot 4 = 0$

Étape 2.2.2.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (y^{2} + 6 y) + 4 \cdot 4$ .

$4 (y^{2} + 6 y + 4) = 0$

Étape 2.2.3

Divisez chaque terme dans $4 (y^{2} + 6 y + 4) = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 (y^{2} + 6 y + 4) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 (y^{2} + 6 y + 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (y^{2} + 6 y + 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.2.3.2.1.2

Divisez $y^{2} + 6 y + 4$ par $1$ .

$y^{2} + 6 y + 4 = \frac{0}{4}$

Étape 2.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$y^{2} + 6 y + 4 = 0$

Étape 2.2.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 6$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6

Simplifiez

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Étape 2.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.3

Soustrayez $16$ de $36$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.2.6.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$y = - 3 \pm \sqrt{5}$

Étape 2.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.7.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 2.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.3

Soustrayez $16$ de $36$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.2.7.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$y = - 3 \pm \sqrt{5}$

Étape 2.2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = - 3 + \sqrt{5}$

Étape 2.2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.8.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.8.1.3

Soustrayez $16$ de $36$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.8.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.2.8.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.8.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.2.8.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$y = - 3 \pm \sqrt{5}$

Étape 2.2.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = - 3 - \sqrt{5}$

Étape 2.2.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - 3 + \sqrt{5}, - 3 - \sqrt{5}$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 3 + \sqrt{5}), (0, - 3 - \sqrt{5})$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(2, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 3 + \sqrt{5}), (0, - 3 - \sqrt{5})$

Étape 4