Pré-calcul Exemples

${(4^{x})}^{2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Multipliez les exposants dans ${(4^{x})}^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{x \cdot 2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$4^{2 x} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez $4^{2 x}$ comme ${(4^{x})}^{2}$ .

${(4^{x})}^{2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Étape 2.2

Laissez $u = 4^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $4^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - 65 u + 64 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $u^{2} - 65 u + 64$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $64$ et dont la somme est $- 65$ .

$- 64, - 1$

Étape 2.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 64) (u - 1) = 0$

Étape 2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4^{x}$ .

$(4^{x} - 64) (4^{x} - 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4^{x} - 64 = 0$

$4^{x} - 1 = 0$

Étape 4

Définissez $4^{x} - 64$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $4^{x} - 64$ égal à $0$ .

$4^{x} - 64 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $4^{x} - 64 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $64$ aux deux côtés de l’équation.

$4^{x} = 64$

Étape 4.2.2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$4^{x} = 4^{3}$

Étape 4.2.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 3$

Étape 5

Définissez $4^{x} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $4^{x} - 1$ égal à $0$ .

$4^{x} - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $4^{x} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4^{x} = 1$

Étape 5.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (4^{x}) = \ln (1)$

Étape 5.2.3

Développez $\ln (4^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (4) = \ln (1)$

Étape 5.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x \ln (4) = 0$

Étape 5.2.5

Divisez chaque terme dans $x \ln (4) = 0$ par $\ln (4)$ et simplifiez.

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Étape 5.2.5.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (4) = 0$ par $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

Étape 5.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (4)$ .

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Étape 5.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

Étape 5.2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (4)}$

Étape 5.2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.5.3.1

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$x = \frac{0}{\ln (2^{2})}$

Étape 5.2.5.3.2

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$x = \frac{0}{2 \ln (2)}$

Étape 5.2.5.3.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 5.2.5.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$x = \frac{2 (0)}{2 \ln (2)}$

Étape 5.2.5.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.5.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \ln (2)$ .

$x = \frac{2 (0)}{2 (\ln (2))}$

Étape 5.2.5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 0}{2 \ln (2)}$

Étape 5.2.5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{0}{\ln (2)}$

Étape 5.2.5.3.4

Divisez $0$ par $\ln (2)$ .

$x = 0$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4^{x} - 64) (4^{x} - 1) = 0$ vraie.

$x = 3, 0$